统计学常用分布及其分位数Word格式文档下载.doc
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请注意:
t分布的分布密度也是偶函数,且当n>
30时,t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。
这时,t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3.F分布若X与Y相互独立,且X~(n),Y~(m),
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布,记作Z~F(n,m),它的分布密度
p(z)=
F分布也是非对称分布,它的分布密度与自由度的次序有关,当Z~F(n,m)时,~F(m,n)。
4.t分布与F分布的关系
若X~t(n),则Y=X~F(1,n)。
证:
X~t(n),X的分布密度p(x)=。
Y=X的分布函数F(y)=P{Y<
y}=P{X<
y}。
当y0时,F(y)=0,p(y)=0;
当y>
0时,F(y)=P{-<
X<
}
==2,
Y=X的分布密度p(y)=,
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同,因此Y=X~F(1,n)。
为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。
但是,解应用问题时,通常是查分位数表。
有关分位数的概念如下:
4.常用分布的分位数
1)分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要,有三种不同的称呼,即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数,它们的定义如下:
当随机变量X的分布函数为F(x),实数α满足0<
α<
1
时,α分位数是使P{X<
xα}=F(xα)=α的数xα,
上侧α分位数是使P{X>
λ}=1-F(λ)=α的数λ,
双侧α分位数是使P{X<
λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使
P{X>
λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
因为1-F(λ)=α,F(λ)=1-α,所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x1-α;
F(λ1)=0.5α,1-F(λ2)=0.5α,所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x0.5α,双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x1-0.5α。
2)标准正态分布的α分位数记作uα,0.5α分位数记作u0.5α,1-0.5α分位数记作u1-0.5α。
当X~N(0,1)时,P{X<
uα}=F0,1(uα)=α,
P{X<
u0.5α}=F0,1(u0.5α)=0.5α,
u1-0.5α}=F0,1(u1-0.5α)=1-0.5α。
根据标准正态分布密度曲线的对称性,
当α=0.5时,uα=0;
当α<
0.5时,uα<
0。
uα=-u1-α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出u1-α,然后得到uα=-u1-α。
论述如下:
uα}=F0,1(uα)=α,
u1-α}=F0,1(u1-α)=1-α,
u1-α}=1-F0,1(u1-α)=α,
故根据标准正态分布密度曲线的对称性,uα=-u1-α。
例如,u0.10=-u0.90=-1.282,
u0.05=-u0.95=-1.645,
u0.01=-u0.99=-2.326,
u0.025=-u0.975=-1.960,
u0.005=-u0.995=-2.576。
又因为P{|X|<
u1-0.5α}=1-α,所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u1-0.5α和-u1-0.5α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有:
α=0.10,u0.90=1.282;
α=0.05,u0.95=1.645;
α=0.01,u0.99=2.326;
α=0.025,u0.975=1.960;
α=0.005,u0.995=2.576。
3)卡平方分布的α分位数记作α(n)。
α(n)>
0,当X~(n)时,P{X<
α(n)}=α。
例如,0.005(4)=0.21,0.025(4)=0.48,
0.05(4)=0.71,0.95(4)=9.49,
0.975(4)=11.1,0.995(4)=14.9。
4)t分布的α分位数记作tα(n)。
当X~t(n)时,P{X<
tα(n)}=α,且与标准正态分布相类似,根据t分布密度曲线的对称性,也有
tα(n)=-t1-α(n),论述同uα=-u1-α。
例如,t0.95(4)=2.132,t0.975(4)=2.776,
t0.995(4)=4.604,t0.005(4)=-4.604,
t0.025(4)=-2.776,t0.05(4)=-2.132。
另外,当n>
30时,在比较简略的表中查不到tα(n),可用uα作为tα(n)的近似值。
5)F分布的α分位数记作Fα(n,m)。
Fα(n,m)>
0,当X~F(n,m)时,P{X<
Fα(n,m)}=α。
另外,当α较小时,在表中查不出Fα(n,m),须先查
F1-α(m,n),再求Fα(n,m)=。
当X~F(m,n)时,P{X<
F1-α(m,n)}=1-α,
P{>
}=1-α,P{<
}=α,
又根据F分布的定义,~F(n,m),P{<
Fα(n,m)}=α,
因此Fα(n,m)=。
例如,F0.95(3,4)=6.59,F0.975(3,4)=9.98,
F0.99(3,4)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,
F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,
F0.01(3,4)=,F0.025(3,4)=,F0.05(3,4)=。
【课内练习】
1.求分位数①0.05(8),②0.95(12)。
2.求分位数①t0.05(8),②t0.95(12)。
3.求分位数①F0.05(7,5),②F0.95(10,12)。
4.由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
5.由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6.若X~(4),P{X<
0.711}=0.05,P{X<
9.49}=0.95,试写出有关的分位数。
7.若X~F(5,3),P{X<
9.01}=0.95,Y~F(3,5),{Y<
5.41}=
0.95,试写出有关的分位数。
8.设X、X、…、X相互独立且都服从N(0,0.09)分布,
试求P{>
1.44}。
习题答案:
1.①2.73,②21.0。
2.①-1.860,②1.782。
3.①,②3.37。
4.1.960为上侧0.025分位数,-1.960与1.960为双侧0.05分位数。
5.2.132为上侧0.05分位数,-2.132与2.132为双侧0.1分位数。
6.0.711为上侧0.95分位数,9.49为上侧0.05分位数,0.711与19.49为双侧0.1分位数。
7.9.01为上侧0.05分位数,5.41为上侧0.05分位数,与5.41为双侧0.1分位数,与9.01为双侧0.1分位数。
8.0.1。
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- 关 键 词:
- 统计学 常用 分布 及其 位数