江苏苏锡常镇四市高三调研一数学试题及答案Word文档格式.docx

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对任意的正整数，都有等式成立.求满足等式的所有正整数.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研

（一）

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修4-1：

几何证明选讲

如图，是圆的直径，为圆上一点，过点作圆的切线交的延长线于点，且满足.

（1）求证：

；

（2）若，求线段的长.

B.选修4-2：

矩阵与变换

已知矩阵，，列向量.

（1）求矩阵；

（2）若，求，的值.

C.选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程.

D.选修4-5：

不等式选讲

已知，都是正数，且，求证：

.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥中，底面是矩形，垂直于底面，，点为线段（不含端点）上一点.

（1）当是线段的中点时，求与平面所成角的正弦值；

（2）已知二面角的正弦值为，求的值.

23.在含有个元素的集合中，若这个元素的一个排列（，，…，）满足，则称这个排列为集合的一个错位排列（例如：

对于集合，排列是的一个错位排列；

排列不是的一个错位排列）.记集合的所有错位排列的个数为.

（1）直接写出，，，的值；

（2）当时，试用，表示，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：

为奇数.

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1.2.3.4.5.

6.7.8.9.10.

11.12.13.14.

二、解答题

15.解：

（1）由题意，，

所以

（2）因为，所以，即，所以，

则，对锐角有，所以，

所以锐角.

16.证明：

（1）连结，正三棱柱中，且，则四边形是平行四边形，因为点、分别是棱，的中点，所以且，

又正三棱柱中且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）正三棱柱中，平面，

平面，所以，

正中，是的中点，所以，又、平面，，

所以平面，又平面，

所以，

由题意，，，，，所以，

又，所以与相似，则，

则，又，，平面，

所以平面.

17.解：

（1）由题意得，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，

设直线：

，与直线联立方程有，得，

，同理，

因为，所以，

①，无实数解；

②，，，解得，

综上可得，直线的斜率为.

18.解：

（1）设，由题，中，，，

所以，在中，，，

由正弦定理得，

即，所以，

则，所以，

因为为锐角，所以，所以，得；

（2）设，在中，，，

由正弦定理得，即，

从而，其中，，

记，，；

令，，存在唯一使得，

当时，单调增，当时，单调减，

所以当时，最大，即最大，

又为锐角，从而最大，此时.

答：

观赏效果达到最佳时，的正弦值为.

19.解：

（1）函数的定义域为.当，，，

∵恒成立，∴恒成立，即.

令，则，

令，得，∴在上单调递增，

令，得，∴在上单调递减，

∴当时，.

∴.

（2）①当时，，.

由题意，对恒成立，

∴，∴，即实数的值为.

②函数的定义域为.

当，，时，.

，令，得.

-

+

极小值

∴当时，，当时，，当时，.

对于，当时，，当时，，当时，.

故函数的值域为.

20.解：

（1）由得，两式作差得，即.

，，所以，，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，

所以；

（2）由题意，即，

所以，其中，，

所以，，

，所以，，；

（3）由得，

，

所以，即，

又因为，得，所以，

从而，，

当时；

下面证明：

对任意正整数都有，

当时，，即，

所以当时，递减，所以对任意正整数都有；

综上可得，满足等式的正整数的值为和.

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

证明：

（1）连接，.因为是圆的直径，所以，.

因为是圆的切线，所以，

又因为，所以，

于是，得到，

所以，从而.

（2）解：

由及得到，.由切割线定理，，所以.

解：

（1）；

（2）由，解得，又因为，所以，.

在中，令，得，

所以圆的圆心的极坐标为.

因为圆的半径，

于是圆过极点，所以圆的极坐标方程为.

因为，都是正数，

，又因为，

所以.

【必做题】

22.解：

（1）以为原点，，，为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；

设，则，，，，，；

所以，，，

设平面的法向量，则，

即，解得，所以平面的一个法向量，

则与平面所成角的正弦值为.

（2）由

（1）知平面的一个法向量为，设，则，，，设平面的法向量，则，即，解得，所以平面的一个法向量，

由题意得，

因为，所以，则.

23.解：

（1），，

（2），

理由如下：

对的元素的一个错位排列（，，…，），若，分以下两类：

若，这种排列是个元素的错位排列，共有个；

若，这种错位排列就是将，，…，，，…，排列到第到第个位置上，不在第个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于个元素的错位排列，共有个；

根据的不同的取值，由加法原理得到；

（3）根据

（2）的递推关系及

（1）的结论，均为自然数；

当，且为奇数时，为偶数，从而为偶数，

又也是偶数，

故对任意正奇数，有均为偶数.

下面用数学归纳法证明（其中）为奇数.

当时，为奇数；

假设当时，结论成立，即是奇数，则当时，，注意到为偶数，又是奇数，所以为奇数，又为奇数，所以，即结论对也成立；

根据前面所述，对任意，都有为奇数.