数学建模习题答案Word格式.docx
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椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度后,长方形ABCD转至A1B1C1D1的位置,这样就可以用旋转角表示出椅子绕点O旋转后的位置。
其次,把椅脚是否着地用数学形式表示出来.当椅脚与地面的竖直距离为零时,椅脚就着地了,而当这个距离大于零时,椅脚不着地。
由于椅子在不同的位置是的函数,因此,椅脚与地面的竖直距离也是的函数。
由于椅子有四只脚,因而椅脚与地面的竖直距离有四个,它们都是的函数,而由假设(3)可知,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地,即这四个函数对于任意的,其函数值至少有三个同时为0。
因此,只需引入两个距离函数即可。
考虑到长方形ABCD是对称中心图形,绕其对称中心O沿逆时针方向旋转180度后,长方形位置不变,但A,C和B,D对换了。
因此,记A,B两脚与地面竖直距离之和为,C,D两脚之和为,其中,使得成立。
模型求解
如果,那么结论成立。
如果不同时为零,不妨设这时,将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度后,点A,B分别于与C,D互换,但长方形ABCD在地面上所处的位置不变,由此可知,f(π)=g(0),g(π)=f(0)。
而由f(0)>0,g(0)=0,得g(π)〉0,f(π)=0。
令h(θ)=f(θ)—g(θ),由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。
又,根据连续函数介值定理,必存在使得;
又因为。
于是,椅子的四只脚同时着地,放稳了。
模型讨论
用函数的观点来解决问题,引入合适的函数是关键.本模型的巧妙之处就在于用变量θ表示椅子的位置,用θ的两个函数表示椅子四只脚与地面的竖直距离.运用这个模型,不但可以确信椅子能在不平的地面上放稳,而且可以指导我们如何通过旋转将地面上放不稳的椅子放稳.
2.人、狗、鸡、米均要过河,船需要人划,另外至多还能载一物,而当人不在时,狗要吃鸡,鸡要吃米。
问人、狗、鸡、米怎样过河?
人带着猫、鸡、米过河,从左岸到右岸,船除了需要人划之外,只能载猫、鸡、米三者之一,人不在场时猫要吃鸡,鸡要吃米。
试设计一个安全过河方案,使渡河次数尽量地少。
符号说明
:
代表人的状态,人在该左岸或船上取值为1,否则为0;
:
代表猫的状态,猫在该左岸或船上取值为1,否则为0;
代表鸡的状态,鸡在该左岸或船上取值为1,否则为0;
代表米的状态,米在该左岸或船上取值为1,否则为0:
;
状态向量,代表时刻K左岸的状态;
决策向量,代表时刻K船上的状态;
限制条件:
初始状态:
根据乘法原理,四维向量共有种情况根据限制条件可以排除三种情况,其余13种情况可以归入两个集合进行分配,易知可行决策集仅有五个元素,状态集有8个元素,将其进行分配,共有两种运送方案:
方案一:
人先带鸡过河,然和人再回左岸,把米带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把猫带过右岸,最后人回来把鸡带去右岸(状态见表1);
方案二:
人先带鸡过河,然后人再回左岸,把猫带过右岸,人再把鸡运回左岸,人再把米带过右岸,最后人回来把鸡带去右岸(状态见表2);
目标:
确定有效状态集合,使得在有限步内左岸状态由
表一:
时刻
左岸状态
船上
K=0
K=1
K=2
K=3
K=4
K=5
K=6
K=7
(1,1,1,1)
(0,1,1,1)
(1,1,0,1)
(0,1,0,0)
(1,1,1,0)
(0,0,1,0)
(1,0,1,0)
(0,0,0,0)
(0,0,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,0)
(1,0,0,1)
(1,0,1,0)
(1,1,0,0)
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
表二:
K=0
K=1
K=4
K=5
K=6
(1,1,1,1)
(0,1,0,1)
(1,1,0,1)
(0,0,0,1)
(1,0,1,1)
(0,0,1,0)
(1,0,1,0)
(0,0,0,0)
(1,0,0,0)
(1,1,0,0)
(1,0,1,0)
(1,0,0,1)
(1,0,0,0)
(1,0,1,0)
3.学校共1000名学生,235人住在A宿舍,333人住在B宿舍,432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数:
(1)按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
(2)2.1节中的Q值方法。
(3)d’Hondt方法:
将各宿舍的人数用正整数相除,其商数如下表:
1 2 34 5 …
A
B
C
235 117.5 78.3 58。
75…
333 166。
5 111 83。
25 …
432 216 144 108 86.4
将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A,B,C行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配席位.你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人,用以上3种方法再分配名额.将3种方法两次分配的结果列表比较.
(4)你能提出其他的方法吗.用你的方法分配上面的名额。
先考虑N=10的分配方案,
方法一(按比例分配)
分配结果为:
方法二(Q值方法)
9个席位的分配结果(可用按比例分配)为:
第10个席位:
计算Q值为
Q3最大,第10个席位应给C.分配结果为
方法三(d’Hondt方法)
原理:
记pi和ni为各宿舍的人数和席位(i=1,2,3代表A、B、C宿舍),是每席位代表的人数,取=…,从而得到的中选较大者,可使对所有的i,尽量接近。
所以此方法的分配结果为:
再考虑的分配方案,类似地可得名额分配结果。
现将3中方法两次分配额结果列表如下:
宿舍
(1)
(2) (3)
(1)
(2)(3)
B
3 2 2
3 3 3
4 5 5
4 4 3
5 5 5
6 6 7
总计
10 10 10
15 15 15
4.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生,打算按照放生的鱼的重量给予奖励,俱乐部只准备了一把软尺用与测量,请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法.假设鱼池中只有一种鲈鱼,并且得到了8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
身长(cm)
36.8 31.843.836。
8 32.1 45。
1 35.9 32。
1
重量(g)
756 482 1162737 4821389652454
胸围(cm)
24.8 21.3 27。
9 24.821.6 31.8 22.921。
6
先用机理分析,再用数据确定参数。
模型分析
本题为了知道鱼的重量,用估计法来通过估计鱼的长度而确定鱼的重量,这种方法只能针对同一种体形相似鱼,但是一般而言世界上没有两种完全相同的东西,所以对于同一种类的鱼也有可能肥瘦不一。
所以在此,我们应该先不妨假设同一种鱼它的整体形状是相似的,密度也大体上是相同的.
(1)设鱼的重量为;
(2)鱼的身长记为;
模型的构成与求解
因为我们前面假设了鱼的整体形状是相似的,密度也相同,所以鱼的重量与身长的立方成正比,为这两者之间的比例系数。
即为比例系数.不过常钓得较肥的垂钓者不一定认可上面的模型,因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待,如果只假定鱼的截面是相似的,则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比,于是为比例系数。
利用题中给的数据,估计模型中的系数可得:
将实际数据与模型结果比较如下表:
实际重量(g)
7654821162737 482 1389652454
模型
727 469 1226727 483 1339675483
730465 1100 730483 1471 607 483
通过机理分析,基本上满意
5.生物学家认为,对于休息状态的热血动物消耗的能量主要用于维持体温,能量与从心脏到全身的血流量成正比,而体温主要通过身体表面散失,建立一个动物体重与心率之间关系的模型,并用下面的数据加以检验。
动物
体重(g) 心率(次/分)
田鼠
家属
兔
小狗
大狗
羊
人
马
25 670
200 420
2000 205
5000 120
30000 85
50000 70
70000 72
450000 38
解:
动物消耗的能量主要用于维持体温,而体内热量通过表面积散失,记动物体重为,则正比于血流量,而,其中是动物每次心跳泵出的血流量,为心率。
合理地假设与成正比,于是,综上可得。
由所给数据估计得,将实际数据与模型结果比较如下表:
实际心率(次/分) 模型结果(次/分)
670 715
420 375
205 166
120 122
85 67
70 57
72 51
38 27
6。
速度为的风吹在迎风面积为的风车上,空气密度是。
用量纲分析方法确定风车获得的功率与,,的关系。
设,其量纲表达式为:
这里是基本量纲
量纲矩阵为:
齐次线性方程组
它的基本解为
由量纲定理得,其中是无量纲常数
7.雨速的速度与空气密度、粘滞系数和重力加速度有关,其中粘滞系数的定义是:
运动物体在流体中受的摩力与速度梯度和接触面积的乘积成正比,比例系数
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