内蒙古科技大学线性代数答案第五章相似矩阵及二次型.docx
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内蒙古科技大学线性代数答案第五章相似矩阵及二次型
第五章相似矩阵及二次型
一、计算题
1.解:
[
]=1
2+2
3+3
(-1)+(-4)
4=-11
单位化如下:
单位化:
单位化:
二、解:
先正交化:
取
,
,
单位化:
取
,
,
3.
解:
先正交化:
取
,
再单位化:
=
,
4.解:
不是。
因为该矩阵的列向量不都是单位向量,且不两两正交。
5.解:
是.因为该矩阵的每一个列向量都是单位向量,且两两正交。
6.解:
所求向量
应知足方程
即
该方程组的基础解系是:
,
,
把基础解系正交化即得所求向量有
,
7.
解:
A特点多项式为:
,
因此A特点值为:
,
当
时,解方程
,的基础解系:
,因此
(
)是对应于
的全数特点向量;
当
时,解方程
,的基础解系:
,因此
(
)是对应于
的全数特点向量
8.解:
A特点多项式为:
,
因此A特点值为:
,当
时,解方程
,基础解系:
,
故对应于特点值
的所有特点向量为:
(
不同时为0)
9.
解:
令
,A特点多项式为:
,
因此A特点值为:
10.
解:
A可逆,
,
,有
,故
的特点值为:
,
因此
1一、
解:
A的特点值别离为:
,特点值互不相等,故能够对角化。
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
将
组成正交阵
,
有
12.解:
A的特点值别离为:
对应
=2,解方程组
,得基础解系
,单位化得
对应
,解方程组
,得基础解系
,
,
单位化得:
,
,
线性无关,故可对角化。
将
组成正交阵
,
有
13.解:
A的特点值别离为:
,特点值互不相等,故能够对角化。
对应
,解方程组
,得基础解系
,
对应
,解方程组
,得基础解系
,
对应
,解方程组
,得基础解系
,
用施密特法把
正交化,即取得所求正交阵
14.解:
,
,
15.解:
B为对角阵,A与B相似,即-1,x,y确实是A的特点根,
A的特点根为:
故x=2,y=-2
16.解:
A为对称阵,故不同特点值所对应的特点向量正交,故与
对应的特点向量应知足以下方程:
,解方程组有基础解系为:
,将其单位化有:
。
将
,
正交化,有
,
再单位化:
,
。
将
组成正交阵
,
即
17.解:
该二次型的矩阵为:
18.解:
1九、解:
所对应的矩阵
,由题意A的特点值为:
,其特点多项式为:
得
,由于
,故
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
对应
,解方程组
,得基础解系
,单位化得
将
组成正交阵
,
有
20.
解:
所对应的矩阵
,A的特点向量为:
故标准型为
所用正交阵由19题知
,
即
21.
解:
f=[
]
=
=
令
,即可逆线性变换
22.解:
所对应的矩阵
,
若
正定,即A正定,A的各阶主子式应都为正,
有
即
23.解:
设
对应的特点值为
,有
即
解得a=3,b=4,
24.解:
A为对称阵,故
所对应的特点向量与
所对应的特点向量
正交,故知足以下方程:
,解方程组有基础解系为:
,
将
,
正交化,有
,
再单位化:
,
。
将
单位化得:
将
组成正交阵
,
25.解:
(1)由题意:
,故
是矩阵
的特点向量。
设
,故B的特点值别离为:
即
对应于
有,B的全数特点向量为
(
不为0)
B为对称阵,因此对应于
的特点向量知足与
正交,
即知足方程
解有其基础解系为:
,
将
正交化,
,
故对应于
的全数特点向量为:
(
不同时为0)
(2)别离将
单位化:
将
组成矩阵
,有
,
26.解:
已知n阶方阵A有n个互异的特点值,
故存在可逆矩阵P,使得P-1AP=
=diag(2,4,…,2n)
det(A-3E)=det(P
P-1-3PP-1)=det(P(
-3E)P-1)=detPdet(
-3E)det(P-1)
=det(
-3E)=-1
1
3
5
…
(2n-3)
27.解:
(1)
,
的特点值别离为
,
对应于
的特点向量为:
(
不同时为0)
对应于
的特点向量为:
(
不为0)那个地址
(2)将
正交化有,
,
,别离单位化有:
,将
单位化有
故所求正交阵为
(3)
28.
解:
(1)
所对应的矩阵为
,A的秩为2,
那么该矩阵的第一列和第二列应付应成比例,知足:
,
解得:
a=0
(2)A的特点值为:
对应于
,解方程组
,得基础解系
,单位化得:
对应
,解方程组
,得基础解系
,
单位化得
,
由
组成矩阵Q,那么所求正交变换为
,标准型为:
(3)由于
=
,
其通解为x=k(-1,1,0)T,其中k为任意常数.
29.
解:
A的特点方程为
故A的特点值为1,1,-5.
(2)由于A的特点值为1,1,-5,
那么A-1的特点值为1,1,
,
那么E+A-1的特点值为1+1=2,1+1=2,1+(
)=
30.
解:
(1)此二次型对应矩阵为
,
因R(A)=2,故
,解得c=3
容易验证,现在A的秩是2.
现在,A的特点多项式为
。
故所求特点值为
(2)二次型f的标准形可表为
,
由
=1,可得
,
由此可知
=1所给出的曲面是椭圆柱面.
二、证明题
1.证明:
而
,因此,
故
为正交矩阵
2
证明:
因为
是正交矩阵,因此
且
,
,而由于
是正交矩阵,因此
,因此
,
是正交矩阵得证
3、
证明:
即
,
设A的特点值为
,且对应的特点向量为
有
,
故
,
为特点向量,不可能为0,
故解得:
,因此
的特点值只能是
或
4.证明:
设
是A的特点值,
是属于
的实特点向量,那么
(1)
两边取转置有
(2)
式
(1)与式
(2)相乘得
即
因
故
即
因为
,故
,即
5、
证:
因为A可逆,由A-1(AB)A=BA知,AB与BA相似
6、
证明:
因为A,
是n阶正定矩阵,因此对任意非零向量
,有
,
故
,因此
也是正定矩阵
7.证明:
设
是矩阵
对应于特点值
的特点向量,
有
,
又因为
,那么
,
得证。
8.
证明:
由题意
;
,得证
9..
解:
(1)
有
(2)矩阵B-CTA-1C是正定矩阵.
由
(1)的结果可知,矩阵D合同于矩阵
,
又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵.
因矩阵M为对称矩阵,故B-CTA-1C为对称矩阵,对X=(0,0,…,0)T(m维)
及任意的Y=(y1,y2,…,yn)T≠0,有
即YT(B-CTA-1C)Y>0,故B-CTA-1C为正定矩阵
10.证:
因为
因此B为n阶对称矩阵。
关于任意的实n维向量x,有
当
时,
因此当
>0时,对任意的
,有
,
即B为正定矩阵
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