届高三数学一轮复习精品讲义附练习及答案 第2章 第7节 函数的图象Word格式.docx

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（3）伸缩变换

①y＝f（x）的图象

y＝f（ax）的图象；

②y＝f（x）的图象

y＝af（x）的图象．

（4）翻转变换

①y＝f（x）的图象y＝|f（x）|的图象；

②y＝f（x）的图象y＝f（|x|）的图象．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）函数y＝f（1－x）的图象，可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位得到．（　　）

（2）函数y＝f（x）的图象关于y轴对称即函数y＝f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称．（　　）

（3）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（|x|）的图象与y＝|f（x）|的图象相同．（　　）

（4）若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

2．（教材改编）甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是（　　）

①　　　　　　　②　　　　　　③　　　　　　④

图271

A．甲是图①，乙是图②　B.甲是图①，乙是图④

C．甲是图③，乙是图②D.甲是图③，乙是图④

B　[设甲骑车速度为V甲骑，甲跑步速度为V甲跑，乙骑车速度为V乙骑，乙跑步速度为V乙跑，依题意V甲骑＞V乙骑＞V乙跑＞V甲跑，故选B.]

3．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f（x）＝（　　）

A．ex＋1B.ex－1

C．e－x＋1D.e－x－1

D　[依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f（x）相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f（x）＝e－（x＋1）＝e－x－1.]

4．（2016·

浙江高考）函数y＝sinx2的图象是（　　）

D　[∵y＝sin（－x）2＝sinx2，

∴函数为偶函数，可排除A项和C项；

当x＝时，sinx2＝sin≠1，排除B项，故选D.]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.

【导学号：

01772055】

（0，＋∞）　[在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知当a＞0时，方程|x|＝a－x只有一个解．]

作函数的图象

　作出下列函数的图象：

（1）y＝|x|；

（2）y＝|log2（x＋1）|；

（3）y＝；

（4）y＝x2－2|x|－1.

[解]　

（1）先作出y＝x的图象，保留y＝x图象中x≥0的部分，再作出y＝x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分.3分

①　　　　　　　　　　　②

（2）将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图②.6分

（3）∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.9分

③　　　　　　　　　　　④

（4）∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞）上的图象，再根据对称性作出（－∞，0）上的图象，得图象如图④.12分

[规律方法]　画函数图象的一般方法

（1）直接法．当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；

（2）图象变换法．若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．

易错警示：

注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

[变式训练1]　分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；

（2）y＝sin|x|.

[解]　

（1）∵y＝|lgx|＝

∴函数y＝|lgx|的图象，如图①.6分

（2）当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.12分

识图与辨图

（1）（2016·

全国卷Ⅰ）函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为（　　）

图272

（2）（2015·

全国卷Ⅱ）如图272，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点．点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（　　）

A　　　　　B　　　　　C　　　　　D

（1）D　

（2）B　[

（1）∵f（x）＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函数，又f

（2）＝8－e2∈（0,1），故排除A，B.设g（x）＝2x2－ex，则g′（x）＝4x－ex.又g′（0）＜0，g′

（2）＞0，∴g（x）在（0,2）内至少存在一个极值点，∴f（x）＝2x2－e|x|在（0,2）内至少存在一个极值点，排除C.故选D.

（2）当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，

在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，

在Rt△PAB中，|PA|＝＝，

则f（x）＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；

当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]

[规律方法]　函数图象的识辨可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

图273

[变式训练2]　

（1）已知函数f（x）的图象如图273所示，则f（x）的解析式可以是（　　）

A．f（x）＝

B．f（x）＝

C．f（x）＝－1

D．f（x）＝x－

（2）（2016·

河南平顶山二模）函数y＝a＋sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图274所示，那么函数y＝logb（x－a）的图象可能是（　　）

图274

（1）A　

（2）C　[

（1）由函数图象可知，函数f（x）为奇函数，应排除B，C.若函数为f（x）＝x－，则x→＋∞时，f（x）→＋∞，排除D，故选A.

（2）由题图可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb（x－a）是增函数，排除A和B；

当x＝2时，y＝logb（2－a）＜0，排除D，故选C.]

函数图象的应用

☞角度1　研究函数的性质

　已知函数f（x）＝x|x|－2x，则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，＋∞）

B．f（x）是偶函数，递减区间是（－∞，1）

C．f（x）是奇函数，递减区间是（－1,1）

D．f（x）是奇函数，递增区间是（－∞，0）

C　[将函数f（x）＝x|x|－2x去掉绝对值得f（x）＝画出函数f（x）的图象，如图，观察图象可知，函数f（x）的图象关于原点对称，故函数f（x）为奇函数，且在（－1,1）上单调递减．]

☞角度2　确定函数零点的个数

　已知f（x）＝则函数y＝2f2（x）－3f（x）＋1的零点个数是________．

5　[方程2f2（x）－3f（x）＋1＝0的解为f（x）＝或1.作出y＝f（x）的图象，

由图象知零点的个数为5.]

☞角度3　求参数的值或取值范围

　（2016·

浙江杭州五校联盟一诊）若直角坐标平面内两点P，Q满足条件：

①P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；

②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）看作同一个“伙伴点组”）．已知函数f（x）＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）　　　　　B.（0,1）

C.D.（0，＋∞）

B　[根据题意可知，“伙伴点组”的点满足：

都在函数图象上，且关于坐标原点对称．

可作出函数y＝－ln（－x）（x<

0）关于原点对称的函数y＝lnx（x>

0）的图象，

使它与直线y＝kx－1（x>

0）的交点个数为2即可．

当直线y＝kx－1与y＝lnx的图象相切时，设切点为（m，lnm），又y＝lnx的导数为y′＝，

即km－1＝lnm，k＝，解得m＝1，k＝1，

可得函数y＝lnx（x>

0）的图象过（0，－1）点的切线的斜率为1，

结合图象可知k∈（0,1）时两函数图象有两个交点．故选B.]

☞角度4　求不等式的解集

　函数f（x）是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图275所示，那么不等式＜0的解集为________．

图275

∪　[在上，y＝cosx＞0，在上，y＝cosx＜0.

由f（x）的图象知在上＜0，

因为f（x）为偶函数，y＝cosx也是偶函数，

所以y＝为偶函数，

所以＜0的解集为∪.]

[规律方法]　函数图象应用的常见题型与求解方法

（1）研究函数性质：

①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．

②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．

③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．

（2）研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值（范围）：

构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．

（3）研究不等式的解：

当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．

[思想与方法]

1．识图：

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．

2．用图：

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质．利用函数的图象，还可以判断方程f（x）＝g（x）的解的个数，求不等式的解集等．

[易错与防范]

1．图象变换是针对自变量x而言的，如从f（－2x）的图象到f（－2x＋1）的图象是向右平移个单位，先作如下变形f（－2x＋1）＝f，可避免出错．

2．明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系．

3．当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用．

第八节　函数与方程

[考纲传真]　结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．