拉普拉斯变换的概念PPT文件格式下载.ppt
- 文档编号:13985671
- 上传时间:2022-10-16
- 格式:PPT
- 页数:106
- 大小:4.75MB
拉普拉斯变换的概念PPT文件格式下载.ppt
《拉普拉斯变换的概念PPT文件格式下载.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《拉普拉斯变换的概念PPT文件格式下载.ppt(106页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,
(1)将函数乘以一个单位阶跃函数,,
(2)将函数再乘上一个衰减指数函数,,一、Laplace变换的引入,2.如何对Fourier变换要进行改造?
实施结果,一、Laplace变换的引入,2.如何对Fourier变换要进行改造?
二、Laplace变换的定义,s的某一区域内收敛,,即,如果对于,则称为的Laplace变换,相应地,称为的Laplace逆变换或像原函数,,记为,例,若存在,收敛域(或者存在域)如何?
有何特点?
从上述例子可以看出,
(1)即使函数以指数级增长,其Laplace变换仍然存在;
(2)即使函数不同,但其Laplace变换的结果可能相同。
(2)Laplace逆变换如何做?
是否惟一?
三、存在性定理,则象函数在半平面上一定存在且解析。
(1)在任何有限区间上分段连续;
(2)具有有限的增长性,,即存在常数c及,使得,,(其中,c称为函数的“增长”指数)。
两点说明,四、几个常用函数的Laplace变换,
(2),四、几个常用函数的Laplace变换,
(2),
(1)1,(3),=,四、几个常用函数的Laplace变换,
(2),(4),(5),
(1)1,(3),=,
(2),(4),(5),
(1)1,(3),=,四、几个常用函数的Laplace变换,(6),
(2),(4),(5),
(1)1,(3),=,四、几个常用函数的Laplace变换,(6),人物介绍拉普拉斯,附:
性质,证明,特别地,当m为正整数时,有,对积分下限分别取,和可得到下面两种形式的Laplace变换:
本教材采用了后一种形式作为函数的Laplace变换。
9.2Laplace变换的性质,9.2Laplace变换的性质,性质,一、线性性质与相似性质,1.线性性质,解,解,证明,性质,一、线性性质与相似性质,2.相似性质(尺度性质),二、延迟性质与位移性质,1.延迟性质,证明,二、延迟性质与位移性质,1.延迟性质,则对任一非负实数有,设当t0时,性质,可见,在利用本性质求逆变换时应为:
因此,本性质也可以直接表述为:
已知,方法二,两种方法为什么会得到不同的结果?
根据延迟性质有,方法二先平移再充零,方法一先充零再平移,根据延迟性质有,例如,性质,2.位移性质,二、延迟性质与位移性质,三、微分性质,性质,证明,由,因此当时,有,有,即得,三、微分性质,1.导数的象函数,性质,其中,应理解为,故有,三、微分性质,2.象函数的导数,性质,一般地,有,同理可得,根据象函数的导数性质有,解,根据线性性质以及象函数的导数性质有,已知,根据位移性质有,再由象函数的导数性质有,四、积分性质,1.积分的象函数,性质,由微分性质有,则且,即得,四、积分性质,1.积分的象函数,性质,一般地,有,再由积分性质得,根据微分性质有,一般地,有,四、积分性质,2.象函数的积分,性质,根据象函数的积分性质有,即,在上式中,如果令s=0,则有,部分基本性质汇总,线性性质,相似性质,延迟性质,微分性质,积分性质,部分基本性质汇总,位移性质,证明,即得,性质,五、周期函数的像函数,故有,六、卷积与卷积定理,1.卷积,按照上一章中卷积的定义,两个函数的卷积是指,则有,解,六、卷积与卷积定理,2.卷积定理,定理,证明,左边=,定理,六、卷积与卷积定理,2.卷积定理,证明,左边=,其中,左边=,=右边。
故有,由积分性质有,即得,9.3Laplace逆变换,一、反演积分公式Laplace逆变换公式,1.公式推导,即,一、反演积分公式Laplace逆变换公式,1.公式推导,推导,(3)将上式两边同乘并由有,一、反演积分公式Laplace逆变换公式,2.反演积分公式,根据上面的推导,得到如下的Laplace变换对:
二、求Laplace逆变换的方法,1.留数法,利用留数计算反演积分。
则,二、求Laplace逆变换的方法,2.查表法,此外,还可以利用卷积定理来求象原函数。
利用Laplace变换的性质,并根据一些已知函数的Laplace,变换来求逆变换。
大多数情况下,象函数常常为(真)分式形式:
其中,P(s)和Q(s)是实系数多项式。
由于真分式总能进行部分分式分解,因此,利用查表法,很容易得到象原函数。
二、求Laplace逆变换的方法,2.查表法,几个常用的Laplace逆变换的性质,二、求Laplace逆变换的方法,2.查表法,几个常用函数的Laplace逆变换,解,方法二利用留数法求解,
(1)为的一阶极点,,
(2),(重根),
(1),解,方法二利用留数法求解,
(1)分别为的一阶与二阶极点,,
(2),
(1),(复根),令得,令得,2,解,
(1),方法一利用查表法求解,
(2)由,得,解,方法二利用留数法求解(略讲),
(1)为的一阶极点,,
(2),方法二利用留数法求解,分别为的一阶与二阶极点,,解,方法三利用卷积定理求解,方法四利用积分性质求解,大时,可使的所有奇点包含,当R充分,在C围成的区域内。
由留数定理有:
由若尔当引理(5.3),当时,,即得,将上式两边同乘以得,1.Q(s)含单重一阶因子的情况,则,2.Q(s)含多重一阶因子的情况,则,将上式两边同乘以得,将实系数真分式化为部分分式,附:
2.Q(s)含多重一阶因子的情况,将实系数真分式化为部分分式,附:
将实系数真分式化为部分分式,附:
但如果仅在实数范围内进行分解,这两种情况还不够。
即如果复数为的零点,那么它的共轭复数,也必为的零点。
因此,必含有(实的),由于实系数多项式的复零点总是互为共轭地成对出现的,,下面需进一步讨论含实二阶因子的情况。
二阶因子,则,3.Q(s)含单重二阶因子的情况,将实系数真分式化为部分分式,附:
3.Q(s)含单重二阶因子的情况,将实系数真分式化为部分分式,附:
则,9.4Laplace变换的应用及综合举例,一、求解常微分方程(组),步骤,微分方程(组),
(1)将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组);
(2)求解代数方程得到象函数;
(3)求Laplace逆变换得到微分方程(组)的解。
对方程两边取Laplace变换,有,
(2)求Laplace逆变换,得,代入初值即得,对方程两边取Laplace变换,并代入初值得,
(2)求Laplace逆变换,得,求解此方程得,对方程组两边取Laplace变换,并代入初值得,求解得,解,
(1)令,求解得,
(2)求Laplace逆变换,得,对方程组两边取Laplace变换,并代入初值得,求解得,
(2)求Laplace逆变换,得,由于,利用线性性质及延迟性质有,函数可写为,二、综合举例,对方程两边取Laplace变换,并代入初值有,
(2)求Laplace逆变换,得,对方程两边取Laplace变换有,
(2)求Laplace逆变换,得,对方程组两边取Laplace变换,并代入初值得,求解得,解,
(1)令,求解得,
(2)求Laplace逆变换,得,对方程组两边取Laplace变换,并代入初值得,解,
(1)令,
(2)求Laplace逆变换,得,
(2)令,(3)求Laplace逆变换,得,因此原方程为,在方程两边取Laplace变换得,求Laplace逆变换,得物体的运动方程为,根据Newton定律有,在方程两边取Laplace变换得,令,求解此方程得,求Laplace逆变换,得,在方程两边取Laplace变换得,即物体运动的微分方程为,对方程组两边取Laplace变换,并代入初值得,
(2)令,当具体给出时,即可以求的运动方程,解,此时,
(1)F=laplace(f),对函数f(t)进行Laplace变换,,对并返回结果F(s)。
(2)f=ilaplace(F),对函数F(s)进行Laplace逆变换,,对并返回结果f(t)。
即,即,即,即,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 拉普拉斯 变换 概念