版高中数学必修二同步讲义人教A版13空间几何体的表面积与体积第1课时Word版含答案Word文档格式.docx
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思考3 圆台OO′及其侧面展开图如图所示,则其侧面积为多少?
答案 如图,圆台的侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,
如图,=,解得
x=l.
S扇环=S大扇形-S小扇形
=(x+l)×
2πR-x·
2πr
=π[(R-r)x+Rl]=π(r+R)l,
所以S圆台侧=π(r+R)l,
S圆台表=π(r2+rl+Rl+R2).
表面积公式
旋
转体
圆柱
底面积:
S底=2πr2
侧面积:
S侧=2πrl
表面积:
S=2πr(r+l)
圆锥
S底=πr2
S侧=πrl
S=πr(r+l)
圆台
上底面面积:
S上底=πr′2
下底面面积:
S下底=πr2
S侧=π(r′l+rl)
S=π(r′2+r2+r′l+rl)
类型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
例1
(1)如图所示,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°
,AB=AC=a,∠AA1B1=∠AA1C1=60°
,∠BB1C1=90°
.侧棱长为b,则其侧面积为( )
A.abB.ab
C.(+)abD.ab
答案 C
解析 斜棱柱的侧面积等于各个侧面面积之和,斜棱柱的每个侧面都是平行四边形.由题意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形.∵AB=AC=a,∴BC=a.
∵∠AA1B1=∠AA1C1=60°
,AB=AC=a,AA1=b,
∴=absin60°
=ab.
又∵∠BB1C1=90°
,∴侧面BB1C1C为矩形,
∴=ab,
∴S斜三棱柱侧=ab+ab+ab=(+)ab.
故选C.
(2)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
解 如图,E、E1分别是BC、B1C1的中点,O、O1分别是下、上底面正方形的中心,则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.连接OE、O1E1,
则OE=AB=×
12=6,O1E1=A1B1=3.
过E1作E1H⊥OE,垂足为H,
则E1H=O1O=12,OH=O1E1=3,
HE=OE-O1E1=6-3=3.
在Rt△E1HE中,E1E2=E1H2+HE2=122+32=153,
所以E1E=3.
所以S侧=4×
×
(B1C1+BC)×
E1E
=2×
(6+12)×
3=108.
引申探究
本例
(2)中,把棱台还原成棱锥,你能利用棱锥的有关知识求出棱台的侧面积吗?
解 如图,将正四棱台的侧棱延长交于一点P.
取B1C1、BC的中点E1、E,则EE1的延长线必过P点.O1、O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心.由正棱锥的定义,CC1的延长线过P点,
且有O1E1=A1B1=3,OE=AB=6,
则有==,
即=,所以PO1=O1O=12.
在Rt△PO1E1中,PE=PO+O1E=122+32=153,
在Rt△POE中,PE2=PO2+OE2=242+62=612,
所以E1E=PE-PE1=6-3=3.
(BC+B1C1)×
(12+6)×
反思与感悟 棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
跟踪训练1 已知正三棱锥V-ABC的正视图、俯视图如图所示,其中VA=4,AC=2,求该三棱锥的表面积.
解 由正视图与俯视图可得正三棱锥的直观图,如图所示,
且VA=VB=VC=4,AB=BC=AC=2,
取BC的中点D,连接VD,则VD⊥BC,
所以VD===,
则S△VBC=VD·
BC=×
2=,
S△ABC=×
(2)2×
=3,
所以三棱锥V-ABC的表面积为
3S△VBC+S△ABC=3+3=3(+).
类型二 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积
例2
(1)已知圆柱与圆锥的高、底面半径分别相等.若圆柱的底面半径为r,圆柱的侧面积为S,则圆锥的侧面积为________.
答案
解析 设圆柱的高为h,则2πrh=S,∴h=.
设圆锥的母线为l,∴l==.
∴圆锥的侧面积为πrl=πr=.
(2)圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°
,那么圆台的表面积是________.(结果中保留π)
答案 1100πcm2
解析 如图所示,设圆台的上底面周长为c,
因为扇环的圆心角是180°
,故c=π·
SA=2π×
10,
所以SA=20,同理可得SB=40,
所以AB=SB-SA=20,
所以S表面积=S侧+S上+S下
=π(r1+r2)·
AB+πr+πr
=π(10+20)×
20+π×
102+π×
202=1100π(cm2).
故圆台的表面积为1100πcm2.
反思与感悟 解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展开图的弧长.
跟踪训练2
(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 设圆柱的母线长为l,∴l=2πr,r=,
则圆柱的表面积为2πr2+l2=2π+l2=l2,侧面积为l2,
∴圆柱的表面积与侧面积的比是l2∶l2=.
故选A.
(2)轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )
A.4倍B.3倍C.倍D.2倍
答案 D
解析 设圆锥底面半径为r,由题意知母线长l=2r,则S侧=πr×
2r=2πr2,∴==2.
类型三 简单组合体的表面积
例3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20πB.24πC.28πD.32π
解析 由三视图可知,组合体的底面圆的面积和周长均为4π,圆锥的母线长l==4,所以圆锥的侧面积为S锥侧=×
4π×
4=8π,圆柱的侧面积S柱侧=4π×
4=16π,所以组合体的表面积S=8π+16π+4π=28π,故选C.
反思与感悟 求组合体的表面积,首先弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应怎样求面积,然后根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.
跟踪训练3 某几何体的三视图(单位:
cm)如图所示,则此几何体的表面积是______cm2.
答案 7+
解析 其直观图如图.
由直观图可知,该几何体为一个正方体和一个三棱柱的组合体,
∴其表面积S=6×
(1×
1)+2×
1×
1+1×
=7+.
1.圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,则它的侧面积是( )
A.B.πSC.2πSD.4πS
答案 B
解析 ∵圆柱的轴截面是正方形,且轴截面面积是S,
∴圆柱的母线长为,底面圆的直径为,
∴圆柱的侧面积S=π×
=πS.
故选B.
2.如图,已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,则正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是( )
A.B.C.D.
解析 设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正四面体D-A1BC1的棱长为,表面积为4×
sin60°
=2,∴正四面体D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是,故选B.
3.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )
A.100πB.81πC.169πD.14π
解析 ∵圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,设圆台上底面的半径为r,则下底面半径和高分别为4r和4r,由100=(4r)2+(4r-r)2,得r=2,故圆台的侧面积等于π(r+4r)×
l=π(2+8)×
10=100π,故选A.
4.表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________.
答案 2
解析 设圆锥的母线为l,圆锥底面半径为r,则πl2+πr2=3π,πl=2πr,∴r=1,即圆锥的底面直径为2.
5.直角三角形的两条直角边长分别为15和20,以它的斜边为轴旋转生成的旋转体,求旋转体的表面积.
解 设此直角三角形为ABC,AC=20,BC=15,AC⊥BC,则AB=25.
过C作CO⊥AB于点O,直角三角形绕AB所在直线旋转生成的旋转体,它的上部是圆锥
(1),它的下部是圆锥
(2),两圆锥底面圆相同,其半径是OC,且OC==12,圆锥
(1)的侧面积S1=π×
12×
20=240π,圆锥
(2)的侧面积S2=π×
15=180π.旋转体的表面积应为两个圆锥侧面积之和,即S=S1+S2=420π.
1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.
2.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解.
3.S圆柱表=2πr(r+l);
S圆锥表=πr(r+l);
课时作业
一、选择题
1.如图所示,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为( )
A.πB.2π
C.3πD.4π
解析 设圆锥的母线长为l,则l==2,∴圆锥的表面积为S=π×
(1+2)=3π.
2.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为( )
A.2B.2C.4D.8
解析 圆台的轴截面如图所示,
由题意知,l=(r+R),
S圆台侧=π(r+R)·
l=π·
2l·
l=32π,
∴l=4.
3.正四棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为( )
A.6cm2B.cm2C.cm2D.3cm2
解析 ∵四棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,
∴上底边到上底中心的距离是cm,下底边到下底中心的距离是1cm,
那么梯形的高,就是斜高为=(cm),
一个梯形的面积就是(1+2)×
=(cm2),
∴棱台的侧面积S=3(cm2).
故选D.
4.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形,则该几何体的表面积为( )
A.80B.24+88
C.24+40D.118
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- 高中数学 必修 同步 讲义 13 空间 几何体 表面积 体积 课时 Word 答案
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