版一轮同步优化探究理数北师大版练习第八章 第九节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 含解Word文档下载推荐.docx
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+=1(a>
b>
0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
①y=2x-3;
②y=2x+1;
③y=-2x-3;
④y=-2x+3.
A.1条B.2条
C.3条D.4条
直线y=2x-3与直线l关于原点对称,直线y=-2x-3与直线l关于x轴对称,直线y=-2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.
3.(2018·
郴州模拟)过点P(-,0)作直线l与圆O:
x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,设∠AOB=θ,且θ∈,当△AOB的面积为时,直线l的斜率为( )
A.B.±
C.D.±
∵△AOB的面积为,
∴×
1×
sinθ=,
∴sinθ=.
∵θ∈,∴θ=,
∴圆心到直线l的距离为.
设直线l的方程为y=k(x+),
即kx-y+k=0,
∴=,
∴k=±
.
B
4.已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2=y相交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则(x1-1)(x2-1)=.
设过定点(1,0)的直线的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程x2=y得x2-kx+k=0,故x1+x2=k,x1x2=k,因此(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=1.
1
5.已知双曲线-=1(a>
0,b>
0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>
0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.
抛物线x2=2py的准线方程为y=-,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+),根据已知得a2(1+)=c2①.由|AF|=c,得+a2=c2②.由①②可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=±
x.
y=±
x
6.过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若使得|AB|=λ的直线l恰有3条,则λ=.
∵使得|AB|=λ的直线l恰有3条.
∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.
此时A,B的横坐标为,代入双曲线方程,可得y=±
2,故|AB|=4.
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
综上可知|AB|=4时,有三条直线满足题意.
∴λ=4.
4
7.设椭圆E的方程为+=1(a>
0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.
(1)由题设条件知,点M的坐标为,又kOM=,从而=,
进而得a=b,c==2b,故e==.
(2)由题设条件和
(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.
设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上,且kNS·
kAB=-1,
从而有解得b=3.
所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.
8.已知中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆过点P(2,),且它的离心率e=.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l:
y=kx+t交椭圆于M,N两点,若椭圆上一点C满足+=λ,求实数λ的取值范围.
(1)设椭圆的标准方程为+=1(a>
0),
由已知得:
解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2)因为直线l:
y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切,
所以=1⇒2k=(t≠0),
把y=kx+t代入+=1并整理得:
(3+4k2)x2+8ktx+(4t2-24)=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则有x1+x2=-,
y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=,
因为λ=(x1+x2,y1+y2),
所以C,
又因为点C在椭圆上,所以,
+=1
⇒λ2==,
因为t2>
0,所以2++1>
1,
所以0<
λ2<
2,所以λ的取值范围为(-,0)∪(0,).
B组——能力提升练
1.已知直线y=1-x与双曲线ax2+by2=1(a>
0,b<
0)的渐近线交于A、B两点,且过原点和线段AB中点的直线的斜率为-,则的值为( )
A.-B.-
C.-D.-
由双曲线ax2+by2=1知其渐近线方程为ax2+by2=0,设A(x1,y1),
B(x2,y2),则有ax+by=0①,ax+by=0②,由①-②得a(x-x)=-b(y-y),即a(x1+x2)(x1-x2)=-b(y1+y2)(y1-y2),由题意可知x1≠x2,且x1+x2≠0,∴·
=-,设AB的中点为M(x0,y0),则kOM====-,又知kAB=-1,∴-×
(-1)=-,∴=-,故选A.
A
2.已知双曲线-=1(a>
0)的实轴长为4,虚轴的一个端点与抛物线x2=2py(p>
0)的焦点重合,直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平行,则p=( )
A.4B.3
C.2D.1
由抛物线x2=2py(p>
0)可知其焦点为,所以b=,又a=2,因此双曲线的方程为-=1,渐近线方程为y=±
x.直线y=kx-1与双曲线的一条渐近线平行,不妨设k=,由可得x2=2p=x-2p,得x2-x+2p=0,则Δ=2-8p=0,解得p=4.故选A.
3.在抛物线y=x2上关于直线y=x+3对称的两点M,N的坐标分别为.
设直线MN的方程为y=-x+b,代入y=x2中,
整理得x2+x-b=0,令Δ=1+4b>
0,
∴b>
-.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-1,
=-+b=+b,
由在直线y=x+3上,
即+b=-+3,解得b=2,
联立得
(-2,4),(1,1)
4.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=.
抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知|AF|=x1+1=3,所以x1=2,所以y1=±
2,由抛物线关于x轴对称,假设A(2,2),由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y-0=2(x-1),代入抛物线方程消去y得2x2-5x+2=0,求得x=2或,所以x2=,故|BF|=.
5.定义:
在平面内,点P到曲线Γ上的点的距离的最小值称为点P到曲线Γ的距离.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:
(x-)2+y2=12及点A(-,0),动点P到圆M的距离与到点A的距离相等,记P点的轨迹为曲线W.
(1)求曲线W的方程;
(2)过原点的直线l(l不与坐标轴重合)与曲线W交于不同的两点C,D,点E在曲线W上,且CE⊥CD,直线DE与x轴交于点F,设直线DE、CF的斜率分别为k1、k2,求.
(1)由题意知:
点P在圆内且不为圆心,易知|PA|+|PM|=2>
2=|AM|,所以P点的轨迹为以A、M为焦点的椭圆,设椭圆方程为+=1(a>
0),则⇒
所以b2=1,故曲线W的方程为+y2=1.
(2)设C(x1,y1)(x1y1≠0),E(x2,y2),则D(-x1,-y1),则直线CD的斜率为kCD=,又CE⊥CD,所以直线CE的斜率是kCE=-,记-=k,设直线CE的方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0,由得(1+3k2)x2+6mkx+3m2-3=0,
∴x1+x2=-,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m=,
由题意知x1≠x2,
∴k1=kDE==-=,
∴直线DE的方程为y+y1=(x+x1),
令y=0,得x=2x1,
即F(2x1,0).
可得k2=-.
∴=-.
6.已知椭圆K:
0)的左、右焦点分别为F1,F2,其离心率e=,以原点为圆心,椭圆的半焦距为半径的圆与直线x-y+2=0相切.
(1)求K的方程;
(2)过F2的直线l交K于A,B两点,M为AB的中点,连接OM并延长交K于点C,若四边形OACB的面积S满足:
a2=S,求直线l的斜率.
(1)由题意得,解得
故椭圆K的方程为+y2=1.
(2)由于直线l的倾斜角不可为零,所以设直线l的方程为my=x-1,
与+y2=1联立并化简可得(m2+2)y2+2my-1=0.
设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-,y1y2=-,
可得y0=-,x0=my0+1=.
设C(x,y),又=λ(λ>
所以x=λx0,y=λy0.
因为C在K上,故λ2(+y)=1⇒m2+2=λ2.①
设h1为点O到直线l的距离,h2为点C到直线l的距离,则==⇒h2=(λ-1)h1.
又由点到直线的距离公式得,
h1==.
而|AB|=·
==,
所以S=|AB|(h1+h2)=·
=.
由题意知,S==,所以=⇒λ=.
将λ=代入①式得m=±
1,所以直线l的斜率为±
1.
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