人教a版高中数学选修44习题第一讲坐标系单元检测卷Word下载.docx
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D.关于直线θ=(ρ∈R)对称
2.A
3.在极坐标系中,已知点P1、P2,则|P1P2|的值为( )
A. B.5
C.D.
3.A
4.将y=sinx的图像横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的,再将纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,所得图象的函数解析式为( )
A.y=2sinxB.y=sin2x
C.y=2sin2xD.y=sinx
4.
答案:
D
5.极坐标方程ρ=1表示( )
A.直线B.射线
C.圆D.椭圆
5.C
6.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为( )
A.ρ=-4cosθB.ρcosθ-1=0
C.ρsinθ=-D.ρ=-sinθ
6.解析:
设M(ρ,θ)为直线上除以外的任意一点,则有ρcosθ=2·
cos,则ρcosθ=1,经检验符合方程.
B
7.曲线的极坐标方程为ρ=4sinθ,化为直角坐标方程是( )
A.x2+(y+2)2=4
B.x2+(y-2)2=4
C.(x-2)2+y2=4
D.(x+2)2+y2=4
7.B
8.在极坐标系中,已知点A,B,O(0,0),则△ABO为( )
A.正三角形
B.直角三角形
C.锐角等腰三角形
D.直角等腰三角形
8.D
9.两圆ρ=2cosθ,ρ=2sinθ的公共部分面积是( )
A.-B.π-2
C.-1D.
9.C
10.已知点P1的球坐标是P1,P2的柱坐标是P2,则|P1P2|等于( )
A.2B.C.2D.
10.A
11.可以将椭圆+=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是( )
A.B.
11.解析:
方法1:
将椭圆方程+=1化为+=4,∴+=4,令得x′2+y′2=4,即x2+y2=4,∴伸缩变换为方法2:
将x2+y2=4改写为x′2+y′2=4,设伸缩变换为代入x′2+y′2=4得λ2x2+μ2y2=4,即+=1,与椭圆+=1,比较系数得解得∴伸缩变换为即
12.圆ρ=r与圆ρ=-2rsin(θ+)(r>
0)的公共弦所在直线的方程为( )
A.2ρ(sinθ+cosθ)=r
B.2ρ(sinθ+cosθ)=-r
C.ρ(sinθ+cosθ)=r
D.ρ(sinθ+cosθ)=-r
12.解析:
圆ρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①圆ρ=-2rsin(θ+)=-2r(sinθcos+cosθsin)=-r(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ得ρ2=-r(ρsinθ+ρcosθ),∴x2+y2+rx+ry=0,② 由①—②得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-r.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上)
13.(2015·
广州市高三毕业班调研测试)曲线ρ=2cosθ-2sinθ(0≤θ<
2π)与极轴的交点的极坐标是____________.
13.(0,0)(2,0)
14.已知直线的极坐标方程为ρsin=,则极点到直线的距离是________.
14.
15.(2015·
广东信宜统测)在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的圆心到直线ρcosθ=2的距离是________.
15.1
16.与曲线ρcosθ+1=0关于θ=对称的曲线的极坐标方程是________.
16.ρsinθ+1=0
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17.在伸缩变换与伸缩变换的作用下,x2+y2=1分别变成什么图形?
17.解析:
由得代入x2+y2=1得+y'2=1,即+y'2=1.所以在伸缩变换的作用下,单位圆x2+y2=1变成椭圆+y2=1.由得代入x2+y2=1得+=1,即x'2+y'2=4,所以在伸缩变换的作用下,单位圆x2+y2=1变成圆x2+y2=4.
18.(本小题满分12分)已知定点P.
(1)将极点移至O′处,极轴方向不变,求点P的新坐标;
(2)极点不变,将极轴逆时针转动角,求点P的新坐标.
18.解析:
(1)设点P新坐标为(ρ,θ),如下图所示,由题意可知:
|OO′|=2,|OP|=4,
∠POx=,∠O′Ox=,
∴∠POO′=.
在△POO′中,
ρ2=42+
(2)2-2×
4×
2×
cos=16+12-24=4,
∴ρ=2.
又=,
∴sin∠OPO′=×
2=,
∴∠OPO′=.
∴∠OP′P=π--=,
∴∠PP′x=.
∴∠PO′x′=.
∴点P的新坐标为.
(2)如下图所示,
设点P新坐标为(ρ,θ),
则ρ=4,θ=+=.
19.(本小题满分14分)△ABC底边BC=10,∠A=∠B,以B为极点,BC为极轴,求顶点A的轨迹的极坐标方程.
19.分析:
本题利用正余弦定理的边角关系找到顶点A的ρ、θ之间的关系,从而求得其轨迹方程.
解析:
如下图,令A(ρ,θ),
在△ABC内,设∠B=θ,∠A=,又|BC|=10,|AB|=ρ.于是由正弦定理,得
=,
化简,得点A轨迹的极坐标方程为
ρ=10+20cosθ.
20.(本小题满分14分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.
20.解析:
设Q、P的坐标分别是(ρ,θ)、(ρ1,θ1),则θ=θ1.
在△POA中,由正弦定理得,
ρ1=·
sin,|PA|=.
又|OQ|=|OP|+|PA|,
∴ρ=2asin.
21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知点A(3,0),P是圆x2+y2=1上的一个动点,且∠AOP的平分线交PA于点Q,求点Q的轨迹的极坐标方程.
21.分析:
需要找出点Q的极角和极径的关系,在这里我们可以通过三角形的面积建立关系.
以圆心O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设Q(ρ,θ),P(1,2θ).
因为S△OAQ+S△OQP=S△OAP,
所以·
3ρ·
sinθ+ρ·
sinθ=×
3×
1×
sin2θ.
整理得ρ=cosθ.
22.(本小题满分14分)已知半圆直径|AB|=2r(r>0),半圆外一条直线l与AB所在直线垂直相交与点T,并且|AT|=2a.若半圆上相异两点M、N到l的距离|MP|,|NQ|满足|MP|∶|MA|=|NQ|∶|NA|=1,通过建立极坐标系,求证|MA|+|NA|=|AB|.
22.证明:
证法一 以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,
则半圆的极坐标方程为ρ=2rcosθ,
设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2),
则ρ1=2rcosθ1,ρ2=2rcosθ2,
又|MP|=2a+ρ1cosθ1=2a+2rcos2θ1,
|NQ|=2a+ρ2cosθ2=2a+2rcos2θ2,
∴|MP|=2a+2rcos2θ1=2rcosθ1,
∴|NQ|=2a+2rcos2θ2=2rcosθ2,
∴cosθ1,cosθ2是关于cosθ的方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根,由韦达定理知:
cosθ1+cosθ2=1,∴|MA|+|NA|=2rcosθ1+2rcosθ2=2r=|AB|.
证法二 以A为极点,射线AB为极轴建立直角坐标系,
又由题意知,M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)在抛物线ρ=上,
∴2rcosθ=,rcos2θ-rcosθ+a=0,
∴cosθ1,cosθ2是方程rcos2θ-rcosθ+a=0的两个根,
由韦达定理知:
cosθ1+cosθ2=1,
∴|MA|+|NA|=2rcosθ1+2rcosθ2=2r=|AB|.
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