届高三上学期第五次月考数学理试题含答案Word下载.docx
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6.如图为某个几何体的三视图,根据三视图可以判断
这个几何体为( )
A.圆锥B.三棱椎C.三棱柱D.三棱台
7.已知直线x-2y+a=0与圆O:
x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A.或-B.或-C.D.
8.某班的全体学生参加数学测试,成绩的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].由频率分布直方图估计全班数学测试成绩平均分为( )
A.66B.67C.68D.70
9.已知(1+ax)3+(1-x)5的展开式中含x3的系数为-2,则a等于( )
A.2B.2C.-2D.-1
10.通榆县公园花展期间,安排6位志愿者到4个展区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一个人,剩下两个展区各安排两个人,不同的安排方案共有( )
A.90种B.180种C.270种D.360种
11.设F1,F2是双曲线C:
-=1(a>
0,b>
0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为( )
A.B.2C.D.
12.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式
f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.[-3,1]B.[-3,—1]
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
13.已知α∈(0,π),且cosα=-,则sin·
tanα=
14.若x,y满足约束条件则z=3x-4y的最小值为________
15.若对任意a,b满足0<
a<
b<
t,都有blna<
alnb,则t的最大值为________
16.在正三棱锥中,M,N分别是棱SC,BC的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积为
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.已知函数f(x)=cosx(cosx+sinx).
(1)求f(x)的最小值;
(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(C)=1,S△ABC=,c=,求△ABC的周长.
18.如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,为正三角形,,E为线段AB的中点.
证明:
平面ABCD;
若,求二面角的大小.
19.已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1=2,且a1+1,a2+1,a4+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N*,Sn是数列{bn}的前n项和,求使Sn<
成立的最大的正整数n.
20.已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在x轴上,且经过点A(0,2),离心率为.
(1)求椭圆P的方程;
(2)是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T,且满足·
=?
若存在,求直线l的方程;
若不存在,请说明理由.
21.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)当a=0时,求证:
f(x)≥0;
(2)当x≥0时,若不等式f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)若x>
0,证明(ex-1)ln(x+1)>
x2.
22.已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ,若以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,且取相同的单位长度建立平面直角坐标系,则直线l的参数方程是
(t为参数).
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·
|PB|=1,求非负实数m的值.
数学(理)答案
1.解析 因为A={1,2,3},B={4,5},又M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},
∴M={5,6,7,8},即M中有4个元素.答案 B
2.解析 依题意,有解得a=2,故选B.
3.解析 a·
(2a-b)=2|a|2-a·
b=2×
12-(-1)=3.答案 B
4.解析 求函数S=的函数值,S=4时,x=-2或16.故选D.
5.D.6.C
7.解析 因为直线x-2y+a=0与圆O:
x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得
=1,所以a=±
.答案 B
8.答案 C
9.(1+ax)3+(1-x)5的展开式中x3的系数为Ca3+C(-1)3=a3-10=-2,则a3=8,解得a=2.答案 B
10.解析 根据题意,分3步进行分析:
①在6位志愿者中任选1个,安排到甲展区,有C=6种情况;
②在剩下的5个志愿者中任选1个,安排到乙展区,有C=5种情况;
③将剩下的4个志愿者平均分成2组,然后安排到剩下的2个展区,有×
A=6种情况,则一共有6×
5×
6=180种不同的安排方案.
11.解:
不妨设一条渐近线的方程为y=x,则F2到y=x的距离d==b,在Rt△F2PO中,|F2O|=c,所以|PO|=a,所以|PF1|=a,又|F1O|=c,所以在△F1PO与Rt△F2PO中,根据余弦定理得cos∠POF1==-cos∠POF2=-,则3a2+c2-(a)2=0,得3a2=c2,所以e==.答案 C
12.解析 因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于x=1对称,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|在x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.
答案 A
13.解析 ∵α∈(0,π),且cosα=-,∴sinα=,
因此sin·
tanα=cosα·
=sinα=.
14.解析 画出可行域如图阴影部分所示.
由z=3x-4y,得y=x-,
作出直线y=x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A(1,1)处时取最小值,故zmin=3×
1-4×
1=-1.答案 -1
15.解析 ∵0<
t,blna<
alnb,∴<
,令y=,x∈(0,t),
则函数在(0,t)上单调递增,故y′=>
0,解得0<
x<
e,故t的最大值是e.
答案 e
16.解:
因为是正三棱锥,而正三棱锥的对棱互相垂直,所以.
又因为M、N分别是棱SC、BC的中点,所以,
而,因此.
又因为,平面SAC,所以平面SAC.
又因为SA、平面SAC,所以,.
又因为,,且都在平面SBC上,所以平面SBC,
而平面SBC,因此,即SA、SB、SC两两互相垂直.
又因为正三棱锥的侧棱长相等,所以以S为正方体的一个顶点,可将三棱锥补成一个正方体,且正方体的棱长为侧棱长.
设正三棱锥的外接球半径为R,则.
又因为,所以,因此正三棱锥外接球的表面积为.
故答案为.
17.解
(1)f(x)=cosx(cosx+sinx)=cos2x+sinxcosx
=+sin2x=+sin.当sin=-1时,f(x)取得最小值-.
(2)f(C)=+sin=1,∴sin=,∵C∈(0,π),2C+∈,∴2C+=,∴C=.∵S△ABC=absinC=,∴ab=3.又(a+b)2-2abcos=7+2ab,
∴(a+b)2=16,即a+b=4,∴a+b+c=4+,故△ABC的周长为4+.
18.解:
连接CE,
是边长为2的正三角形,且E是AB中点,
又是边长为2的菱形,,
是正三角形,,
又,,即,又,,
平面ABCD.
解:
由可得:
以E为原点,分别以,,为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,
则0,,0,,,,.
设点M坐标为y,,由,得y,,,,,
,,
设平面CEM的法向量为y,,
则,取,解得0,.
平面ABCD,平面ABCD的法向量0,,
,二面角的大小为.
19.解
(1)设{an}的公差为d.
由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,可得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),又a1=2,
∴(3+d)2=3(3+3d),解得d=3(d=0舍去),则an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.
(2)bn===,Sn=
==,则Sn<
,即<
,解得n<
12,
则所求最大的正整数n为11.
20.解
(1)设椭圆P的方程为+=1(a>
b>
0),
由题意得b=2,e==,∴a=2c,b2=a2-c2=3c2,∴c=2,a=4,
∴椭圆P的方程为+=1.
(2)假设存在满足题意的直线l,易知当直线l的斜率不存在时,·
<
0,不满足题意.
故可设直线l的方程为y=kx-4,R(x1,y1),T(x2,y2).
∵·
=,∴x1x2+y1y2=.由得(3+4k2)x2-32kx+16=0,
由Δ>
0得(-32k)2-64(3+4k2)>
0,解得k2>
.①
∴x1+x2=,x1x2=,∴y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k2x1x2-4k(x1+x2)+16,
故x1x2+y1y2=+-+16=,
解得k2=1.②由①②解得k=±
1,∴直线l的方程为y=±
x-4.
故存在直线l:
x+y+4=0或x-y-4=0满足题意.
21.
(1)证明 当a=0时,f(x)=ex-1-x,f′(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<
0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>
0.
故f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
f(x)min=f(0)=0,∴f(x)≥0.
(2)解 f′(x)=ex-1-2ax,令h(x)=ex-1-2ax,则h′(x)=ex-2a.
①当2a≤1,即a≤时,在[0,+∞)上,h′(x)≥0,h(x)单调递增,
h(x)≥h(0),即f′(x)≥f′(0)=0,∴f(x)在[0,+∞)上为增函数,∴f(x)≥f(0)=0,
∴当a≤时满足条件.
②当2a>
1,即a>
时,令h′(x)=0,解得x=ln(2a),
在[0,ln(2a))上,h′(x)<
0,h(x)单调递减,
∴当x∈(0,ln(2a))时,有h(x)<
h(0)=0,即f′(x)<
f′(0)=0,
∴f(x)在区间(0,ln(2a))上为减函数,∴f(x)<
f(0)=0,不合题意.
综上,实数a的取值
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- 届高三 上学 第五 月考 学理 试题 答案
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