天津中考数学专题复习二次函数与最值问题Word下载.docx
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(Ⅲ)存在点P,使得△PDC是等腰三角形,
当x=0时,y=3,
∴点C坐标为(0,3).
当△PDC是等腰三角形时,分三种情况:
①如解图①,当DC=DP时,
由抛物线的对称性知:
点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称,
∴点P坐标为(2,3);
②如解图②,当PC=PD时,则线段CD的垂直平分线l与抛物线的交点即为所求的点P,
过点D作x轴的平行线交y轴于点H,
过点P作PM⊥y轴于点M,PN⊥DH的延长线于点N,
∵HD=HC=1,PC=PD,
∴HP是线段CD的垂直平分线.
∵HD=HC,HP⊥CD,
∴HP平分∠MHN,
∵PM⊥y轴于点M,PN⊥HD的延长线于点N,
∴PM=PN.
设P(m,-m2+2m+3),
则m=4-(-m2+2m+3),解得m=,
∴点P的坐标为(,)(解图中未标记此点)或(,);
③如解图③,当CD=CP时,点P在y轴左侧,不符合题意.
综上所述,所求点P的坐标为(2,3)或(,)或(,).
图①图②图③
第1题解图
2.已知抛物线y=ax2+bx+c(a<
0)过(m,b),(m+1,a)两点,
(Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;
(Ⅲ)当b≥a,m<0时,二次函数y=ax2+bx+c有最大值-2,求a的最大值.
(Ⅰ)∵m=1,c=1,
∴抛物线的解析式为y=ax2+bx+1(a<
0)过(1,b),(2,a)两点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1;
(Ⅱ)依题意得,
由②-①得b=-am,
∵b≥a,
∴-am≥a,
∵a<0,
∴m≥-1;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得b=-am,
代入①得am2-am2+c=b,
∴c=b=-am,
∵b≥a,m<0,
∴-1≤m<0,
∵二次函数y=ax2+bx+c有最大值-2,
∴=-2,
∴=m2+4m,
∴=(m+2)2-4,
∵-1≤m<0,
∴-3≤(m+2)2-4<0,
∴a≤-,
∴a的最大值为-.
3.平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2m2x+2交y轴于A点,交直线x=4于B点.
(Ⅰ)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);
(Ⅱ)若AB∥x轴,求抛物线的解析式;
(Ⅲ)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(xp,yp),一定满足yp≤2,求m的取值范围.
(Ⅰ)由抛物线的对称轴公式可得x===m,
∴抛物线的对称轴为直线x=m;
(Ⅱ)当x=0时,y=mx2-2m2x+2=2,
∴点A(0,2).
∵AB∥x轴,且点B在直线x=4上,
∴点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+2;
(Ⅲ)当m>0时,如解图①,
∵A(0,2),
∴要使0≤xp≤4时,始终满足yp≤2,只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.
∴m≥2;
当m<0时,如解图②,
m<0时,yp≤2恒成立.
综上所述,m的取值范围为m<0或m≥2.
第3题解图
4.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).
(Ⅰ)求抛物线的表达式;
(Ⅱ)若-1≤x≤3,试求y的取值范围;
(Ⅲ)若M(n2-4n+6,y1)和N(-n2+n+,y2)是抛物线上的不重合的两点,试判断y1与y2的大小,并说明理由.
(Ⅰ)∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),
∴设抛物线的表达式为:
y=a(x-2)2+5,
把(0,1)代入得:
a(0-2)2+5=1,
a=-1,
∴抛物线的表达式为:
y=-(x-2)2+5=-x2+4x+1;
(Ⅱ)∵抛物线的顶点为(2,5),a=-1,对称轴为直线x=2,且-1≤x≤3,
∴当x=-1时,y有最小值,最小值为y=-(-1-2)2+5=-4,
当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,
∴y的取值范围是-4≤y≤5;
(Ⅲ)∵n2-4n+6=(n-2)2+2≥2,-n2+n+=-(n-)2+2≤2,
∴点M在抛物线对称轴右侧,点N在抛物线对称轴左侧,
∵N(-n2+n+,y2),
∴点N关于对称轴对称的点坐标为(n2-n+,y2),
∵在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,
∴①当n2-4n+6>n2-n+时,即n<时,y1<y2;
②当n2-4n+6=n2-n+时,即n=时,y1=y2;
③当n2-4n+6<n2-n+时,即n>时,y1>y2.
5.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点,这两点的坐标分别是(0,-)和(m-b,m2-mb+n),其中
a,b,c,m,n为实数,且a,m不为0.
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求证:
抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)当-1≤x≤1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时|y0|的最小值.
(Ⅰ)把点(0,-)代入抛物线,得:
c=-;
(Ⅱ)把点(0,-)代入直线得:
n=-.
把点(m-b,m2-mb+n)代入抛物线,得:
a(m-b)2+b(m-b)+c=m2-mb+n
∵c=n=-,
∴a(m-b)2+b(m-b)=m2-mb,
am2-2abm+ab2+bm-b2-m2+mb=0,
(a-1)m2-(a-1)•2bm+(a-1)b2=0,
(a-1)(m2-2bm+b2)=0,
(a-1)(m-b)2=0,
若m-b=0,则(m-b,m2-mb+n)与(0,-)重合,与题意不合,
∴a=1,
∵抛物线y=ax2+bx+c=x2+bx-,b2-4ac=b2-4×
(-)=b2+2>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;
(Ⅲ)y=x2+bx-,顶点(-,--),
设抛物线y=x2+bx-在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,
①当-<-1时,即b>2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|H|=y0=+b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|h|=|y0|=|-b|=b->,
∴|H|>|h|,
∴这时|y0|的最小值大于,
②当-1≤-≤0时,即0≤b≤2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|H|=y0=+b≥,当b=0时等号成立,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(-,--),
∴|h|=|--|=≥,
当b=0时等号成立,
∴这时|y0|的最小值等于,
③当0<-≤1,即-2≤b<0时,
在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|H|=y0=|1+(-1)b-|=|-b|=-b>,
∴|h|=|y0|=|--|=>,
∴这时|y0|的最小值大于;
④当1<-时,即b<-2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(-1,y0),
∴|H|=-b>,
在x轴下方与x轴距离最大的点是(1,y0),
∴|h|=|+b|=-(b+)>,
综上所述:
当b=0,x0=0时,这时|y0|取最小值为.
6.在平面直角坐标系中,直线l:
y=x+3与x轴交于点A,抛物线C:
y=x2+mx+n的图象经过点A.
(Ⅰ)当m=4时,求n的值;
(Ⅱ)设m=-2,当-3≤x≤0时,求二次函数y=x2+mx+n的最小值;
(Ⅲ)当-3≤x≤0时,若二次函数y=x2+mx+n时的最小值为-4,求m、n的值.
(Ⅰ)当y=x+3=0时,x=-3,
∴点A的坐标为(-3,0).
∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A,
∴0=9-3m+n,即n=3m-9,
∴当m=4时,n=3m-9=3;
(Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x=-,
当m=-2时,对称轴为x=1,n=3m-9=-15,
∴当-3≤x≤0时,y随x的增大而减小,
∴当x=0时,二次函数y=x2+mx+n取得最小值,最小值为-15.
(Ⅲ)①当对称轴-≤-3,即m≥6时,
在-3≤x≤0范围内,y随x的增大而增大,当x=-3时,y取得最小值0,不符合题意;
②当-3<-<0,即0<m<6时,在-3≤x≤0范围内,x=-时,y取得最小值,
∵二次函数最小值为-4,
解得:
或(舍去),
∴m=2,n=-3;
③当-≥0,即m≤0时,在-3≤x≤0范围内,y随x的增大而减小,当x=0时,y取最小值,即n=-4,
(舍去).
m=2,n=-3.
7.在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x+c(c为常数)的对称轴为x=1.
(Ⅰ)当c=-3时,点(x1,y1)在抛物线y=x2-2x+c上,求y1的最小值;
(Ⅱ)若抛物线与x轴有两个交点,点A在点B左侧,且OA=OB,求抛物线的解析式;
(Ⅲ)当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,求c的取值范围.
(Ⅰ)当c=-3时,抛物线为y=x2-2x-3,
∴抛物线开口向上,有最小值,
∴y最小值===-4,
∴y1的最小值为-4;
(Ⅱ)抛物线与x轴有两个交点,
①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①,
设A(m,0),∵OA=OB,
∴B(2m,0),
∵二次函数y=x2-2x+c的对称轴为x=1,
由抛物线的对称性得1-m=2m-1,解得m=,
∴A(,0),
∵点A在抛物线y=x2-2x+c上,
∴0=-+c,解得c=,
此时抛物线的解析式为y=x2-2x+;
②当点A在原点的左侧,点B在原点的右侧时,如解图②,
设A(-n,0),∵OA=OB,且点A、B在原点的两侧,
∴B(2n,0),
由抛物线的对称性得n+1=2n-1,
解得n=2,∴A(-2,0),
∴0=4+4+c,解得c=-8,
此时抛物线的解析式为y=x2-2x-8,
综上,抛物线的解析式为y=x2-2x+或y=x2-2x-8;
(Ⅲ)∵抛物线y=x2-2x+c与x轴有公共点,
∴对于方程x2-2x+c=0,判别式b2-4ac=4-4c≥0,
∴c≤1.
当x=-1时,y=3+c;
当x=0时,y=c,
∵抛物线的对称轴为x=1,且当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点,
∴3+c>0且c<0,解得-3<c<0,
综上,当-1<x<0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为-3<c<0.
第7题解图
8.已知
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