奥数几何三角形五大模型带解析Word文档格式.docx
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两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.
二、等分点结论(“鸟头定理”)
如图,三角形占三角形面积的×
=
三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)
1S1︰S24︰S3或者S1×
S32×
S4
2②︰(S12)︰(S43)
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)
1S1︰S32︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰︰;
③S的对应份数为()2
模型四:
相似三角形性质
如何判断相似
(1)相似的基本概念:
两个三角形对应边城比例,对应角相等。
(2)判断相似的方法:
①两个三角形若有两个角对应相等则这两个三角形相似;
②两个三角形若有两条边对应成比例,且这两组对应边所夹的角相等则两个三角形相似。
①;
2S1︰S22︰A2
模型五:
燕尾定理
S△:
S△=S△:
S△=:
;
【重点难点解析】
1.模型一与其他知识混杂的各种复杂变形
2.在纷繁复杂的图形中如何辨识“鸟头”
【竞赛考点挖掘】
1.三角形面积等高成比
2.“鸟头定理”
3.“蝴蝶定理”
【习题精讲】
【例1】
(难度等级※)
如图,长方形的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形边上的中点,H为边上的任意一点,求阴影部分的面积.
【例2】
如右图,和都是矩形,的长是4厘米,的长是3厘米,那么图中阴影部分的面积是平方厘米.
【例3】
如图,在三角形中,8厘米,6厘米,E、F分别为和的中点,那么三角形的面积是多少平方厘米?
【例4】
(难度等级※※※)
如图,在面积为1的三角形中,3是的中点,延长交边于E,求三角形和三角形的面积之和。
【例5】
(难度等级※※)
如右图,,那么三角形的面积是三角形面积的几分之几?
【例6】
如图所示,四边形与都是平行四边形,请你证明它们的面积相等.
【例7】
如图,在长方形中,Y是的中点,Z是的中点,如果24厘米,8厘米,求三角形的面积.
【例8】
如图,正方形的边长为4厘米,和平行,的面积是7平方厘米,求的长。
【例10】
如图已知四边形和都是正方形,且正方形的边长为10厘米,那么图中阴影三角形的面积为多少平方厘米?
【例11】
如图,一个长方形被切成8块,其中三块的面积分别为12,23,32,则图中阴影部分的面积为?
【例12】
如图,平行四边形周长为75厘米,以为底时高是14厘米;
以为底时高是16厘米。
求平行四边形的面积。
【例13】
如右图,正方形的边长为6厘米,△、△与四边形的面积彼此相等,求三角形的面积.
【例14】
如图,三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,4,3,6,甲部分面积是乙部分面积的几分之几?
【例15】
某公园的外轮廓是四边形,被对角线、分成四个部分,△面积为1平方千米,△面积为2平方千米,△的面积为3平方千米,公园陆地的面积是6.92平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米?
【例16】
图中是一个正方形,其中所标数值的单位是厘米.问:
阴影部分的面积是多少平方厘米?
【作业】
1.如图,三角形中,,,三角形的面积是20平方厘米,三角形的面积是多少?
2.如右图所示,在长方形内画出一些直线,已知边上有三块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?
3.右图是由大、小两个正方形组成的,小正方形的边长是4厘米,求三角形的面积。
4.如图,平行四边形,,2,3,4,平行四边形的面积是2,求平行四边形与四边形的面积比.
5.如图,在△中,延长,,F是的中点,若△的面积是2,则△的面积是多少?
【分析与解】
如右图,连接、,由E、F、G分别为、、三边的中点有、、.
因此S12,S34,S56,而阴影部分面积236,空白部分面积145.所以阴影部分面积与空白部分面积相等,均为长方形的一半,即阴影部分面积为28.
上排4个阴影三角形的高都等于,底边之和恰好为,他们的面积之和为;
下排4个三角形的高都等于,底边之和恰好为,他们的面积
之和为.所以阴影部分面积为:
(平方厘米).
【分析与解】
首先,平方厘米,而F是中点,所以.又E是中点,所以平方厘米.
连接,于是三角形的面积=三角形的面积,所求被转化为三角形的面积。
因为F是中点,所以三角形的面积和三角形的面积相等,设为1份,
则为3份因此一共7份,
每份面积为所以占3份为。
【分析与解】
上图中,三角形与三角形的高相等,而,于是,
又由于三角形与三角形的高相等,而,于是,
所以,三角形的面积=×
三角形的面积=×
×
三角形的面积=×
三角形的面积
连接
显然有,
所以
平方厘米
因为Y是中点,Z是中点,所以
+×
=7平方厘米
即×
7平方厘米;
3.5厘米
由和都是正方形有
所以.
由平行线间距离相等知三角形和三角形同底等高
如右图,已知
2332+12
所以23+32+12
67.
14×
16,:
16:
14,
,×
=20
面积=14×
20=280(平方厘米)
因为△、△与四边形的面积彼此相等,所以四边形的面积与△、△的面积都等于正方形面积的三分之一,也就是:
在△中,因为=6.所以=4,同理=4,因此==2,
∴△的面积为2×
2÷
2=2.
所以(平方厘米).
由有;
由,,有.由鸟头定理有,,故.
由任意四边形的蝴蝶定理有
所以平方千米,故公园总面积为
平方千米,人工湖面积为平方千米
如下图所示,为了方便所叙,将某些点标上字母,并连接.
设△的面积为x,显然△、△、△的面积均为x,则△的面积为3x,即,那么正方形内空白部分的面积为.
所以原题中阴影部分面积为(平方厘米).
【答案】120
【答案】97
【答案】8
【答案】1:
17
6.如图,在△中,延长,,F是的中点,若△的面积是2,则△的面积是多少?
【答案】3.5
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