人教版初三上数学第66讲圆教师版Word格式.docx
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圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆。
如图一,半径为r1与半径为r2的⊙O叫做同心圆。
(2)等圆:
圆心不同,半径相等的两个圆叫做等圆。
如图二中的⊙O1与⊙O2的半径都是r,它们是等圆。
同圆或者等圆的半径相同。
(3)同圆是指同一个圆;
等圆、同心圆是指两个及两个以上的圆。
5.与圆有关的角
(1)圆心角:
顶点在__________的角叫圆心角.
圆心角的性质:
圆心角的度数等于它所对的_____________.
(2)圆周角:
顶点在__________,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质:
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等;
_________________,相等的圆周角所对的弧相等.
③90°
的圆周角所对的弦为直径;
半圆或直径所对的圆周角为_______.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是____________.
⑤圆内接四边形的对角_______;
外角等于它的内对角.
(3)弦切角:
顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫弦切角.
弦切角的性质:
弦切角等于它夹的弧所对的圆周角.
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半.
参考答案:
1.
(1)一周
(2)定点,定长
5.
(1)圆心,弧的度数
(2)圆上,在同圆或等圆中直角直角三角形互补
1.圆的基本概念
【例1】下列说法中,不正确的是()
A.过圆心的弦是圆的直径B.等弧的长度一定相等
C.周长相等的两个圆是等圆D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧
【解析】A.过圆心的弦是圆的直径,说法正确;
B.等弧的长度一定相等,说法正确;
C.周长相等的两个圆是等圆,说法正确;
D.同一条弦所对的两条弧一定是等弧,说法错误,应是在同圆或等圆中,同一条弦所对的两条弧一定是等弧;
【答案】D
练习1.车轮要做成圆形,实际上就是根据圆的特征()
A.同弧所对的圆周角相等
B.直径是圆中最大的弦
C.圆上各点到圆心的距离相等
D.圆是中心对称图形
【答案】C
练习2.下列说法:
①直径是弦;
②弦是直径;
③过圆内一点有无数多条弦,这些弦都相等;
④直径是圆中最长的弦.其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
2.圆周角定理
【例2】
(2014泉州中考)如图,点A,B,C都在⊙O上,若∠O=40°
,则∠C=()
A.20°
B.40°
C.50°
D.80°
【解析】根据圆周角定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,得∠C=∠O=20°
。
解:
∵圆心角∠O和圆周角∠C所对的是同一段弧;
∴∠C=∠O=20°
.
【答案】A
练习3.如图,AB是⊙O直径,∠AOC=130°
,则∠D=()
A.65°
B.25°
C.15°
D.35°
练习4.(2014杭州金华中考)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠C=34°
,则∠AOB的度数为()
A.34°
B.56°
C.60°
D.68°
3.直径所对的圆周角
【例3】
(2014广东肇庆一模)如图,AB是⊙O的直径,∠ABC=30°
,则∠BAC=()
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
【解析】根据直径所对的圆周角是直角,再利用直角三角形两锐角互余求解即可,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C=90°
,
∴∠BAC=90°
﹣30°
=60°
【答案】故选B.
练习5.如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,则∠ACB的度数为()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
练习6.如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20°
,则∠ADC的度数为()
A.40°
B.50°
D.70°
4.圆周角定理的简单应用
【例4】
(2014山东聊城一模)如图,△ABC内接于⊙O,∠C=30°
,AB=2,则⊙O的半径为()
A.B.2C.D.4
【解析】先利用圆周角定理求出∠AOB,再根据等边三角形的判定得到△AOB是等边三角形,从而得解。
【答案】解:
连接OA,OB,则∠AOB=2∠C=60°
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,有OA=AB=2.
故选B.
练习7.如图,正三角形ABC内接于圆O,动点P在圆周的劣弧AB上,且不与A,B重合,则∠BPC等于()
B.60°
C.90°
D.45°
练习8.(2014湖北湛江一模)如图,AB是⊙O的直径,C、D、E是⊙O上的点,则∠1+∠2=度.
【答案】90
5.圆周角定理综合运用
【例5】
(2014鼎湖区一模)如图所示,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD,BD的长.
【解析】根据直径所对的角是90°
,判断出△ABC和△ABD是直角三角形,根据圆周角∠ACB的平分线交⊙O于D,判断出△ADB为等腰直角三角形,然后根据勾股定理求出具体值.
∵AB是直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,AB=10cm,AC=6cm
∴BC2=AB2﹣AC2=102﹣62=64
∴BC==8(cm)
又CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴
∴AD=BD
又在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2
∴AD2+BD2=102
∴AD=BD==5(cm).
练习9.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:
∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC-AC=2,求CE的长
【答案】
(1)证明:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC,
又∵DC=CB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D;
(2)解:
设BC=x,则AC=x-2,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(x-2)2+x2=42,
解得:
x1=1+,x2=1-(舍去)
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE,
∵CD=CB,
∴CE=CB=1+
练习10.如图所示,OA、OB、OC都是圆O的半径,∠AOB=2∠BOC.
求证:
∠ACB=2∠BAC.
【答案】证明:
∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC;
又∵∠AOB=2∠BOC,
∴∠ACB=2∠BAC.
【例6】
(2014广东珠海一模)如图,△ABC内接于⊙O,AB=6,AC=4,D是AB边上一点,P是优弧BAC的中点,连结PA、PB、PC、PD.
(1)当BD的长度为多少时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形?
并证明;
(2)若cos∠PCB=,求PA的长.
【解析】
(1)要求△PAD是以AD为底边的等腰三角形,所以PA=PD,再利用P是中点这个条件,进而可以找到全等三角形,此问利用倒推即可得出结论;
(2)给了余弦值,可以倒角把角度放到直角三角形中,所以过点P作PE⊥AD于E即可。
(1)当BD=AC=4时,△PAD是以AD为底边的等腰三角形
∵P是优弧BAC的中点∴弧PB=弧PC
∴PB=PC
∵BD=AC=4∠PBD=∠PCA
∴△PBD≌△PCA
∴PA=PD即△PAD是以AD为底边的等腰三角形
(2)由
(1)可知,当BD=4时,PD=PA,AD=AB-BD=6-4=2
过点P作PE⊥AD于E,则AE=AD=1
∵∠PCB=∠PAD
∴cos∠PAD=cos∠PCB=
∴PA=
练习11.已知:
如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,BC交⊙O于点D,AC交⊙O于点E,∠BAC=45°
(1)求∠EBC的度数;
(2)求证:
BD=CD.
(1)解:
∴∠AEB=90°
又∵∠BAC=45°
∴∠ABE=45°
又∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=67.5°
∴∠EBC=22.5°
(2)证明:
连接AD,
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC.
∴BD=CD.
练习12.如图,等边△ABC内接于⊙O,P是上任一点(点P不与点A、B重合),连AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)填空:
∠APC=_________度,∠BPC=_________度;
△ACM≌△BCP;
(3)若PA=1,PB=2,求梯形PBCM的面积.
∠APC=60°
,∠BPC=60°
;
∵CM∥BP,
∴∠BPM+∠M=180°
∠PCM=∠BPC,
∵∠BPC=∠BAC=60°
∴∠PCM=∠BPC=60°
∴∠M=180°
﹣∠BPM=180°
﹣(∠APC+∠BPC)=180°
﹣120°
∴∠M=∠BPC=60°
又∵A、P、B、C四点共圆,
∴∠PAC+∠PBC=180°
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC,
∴△ACM≌△BCP;
(3)解:
作PH⊥CM于H,
∵△ACM≌△BCP,
∴CM=CPAM=BP,
又∠M=60°
∴△PCM为等边三角形,
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,
在Rt△PMH中,∠MPH=30°
∴PH=,
∴S梯形PBCM=(PB+CM)×
PH==.
1.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=400,则∠BOC的度数为()【答案】C
A.200B.400C.800D.700
2.以下命题中,正确的命题的个数是()【答案】A
(1)同圆中等弧对等弦.
(2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等.
(3)三点确定一个圆.(4)平分弦的直径必垂直于这条弦.
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>
b),则此圆的半径为()【答案】C
A.B.C.或D.a+b或a-b
4.如图,AB是半圆的直径,点D是的中点,∠ABC=50°
,则
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