四川省德阳市届高三二诊考试文科数学试题Word格式.docx
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②为等边三角形;
③平面平面;
④点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
3.已知函数,若,使得成立,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
二、填空题
4.为弘扬我国优秀的传统文化,某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛,他们取得的成绩的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为__________.
5.如图,在三角形中,、分别是边、的中点,点在直线上,且,则代数式的最小值为__________.
6.已知中,角、、所对的边分别是、、且,,,若为的内心,则的面积为__________.
三、解答题
7.已知数列满足,.
(1)求证:
数列为等比数列;
(2)求数列的前项和.
8.省环保厅对、、三个城市同时进行了多天的空气质量监测,测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个,三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示:
城
优(个)
28
良(个)
32
30
已知在这180个数据中随机抽取一个,恰好抽到记录城市空气质量为优的数据的概率为0.2.
(I)现按城市用分层抽样的方法,从上述180个数据中抽取30个进行后续分析,求在城中应抽取的数据的个数;
(II)已知,,求在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率.
9.如图,在四棱锥中,底面为菱形,,平面,,点、分别为和的中点.
直线平面;
(2)求点到平面的距离.
10.已知椭圆:
的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为,且椭圆的离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、,点,试探究:
直线与的斜率之积是否为常数.
11.已知函数.
(1)若是的一个极值点,求的最大值;
(2)若,,都有,求实数的取值范围.
参考答案
1.A
【解析】
样本中心点为,计算得,代入验证可知选项正确.
2.C
由于三角形为等腰直角三角形,故,所以平面,故①正确,排除选项.由于,且平面平面,故平面,所以,由此可知,三角形为等比三角形,故②正确,排除选项.由于,且为等边三角形,故点在平面内的射影为的外接圆圆心,④正确,故选.
3.A
由于,函数为增函数,且,函数为奇函数,故,即在上存在.画出的图象如下图所示,由图可知,,故选.
【点睛】本小题主要考查函数的单调性与奇偶性,考查利用导数研究函数的单调性,考查恒成立问题的解题思路.给定一个函数的解析式,首先要分析这个函数的定义域,单调性与奇偶性等等性质,这些对于解有关函数题目可以有个方向,根据基本初等函数的单调性要熟记.
4.
解得,根据中位数为,可知,故.
5.
不妨设为直角,且,以分别为轴,此时为点的坐标,表示到原点的距离,最短时为点到直线的距离,由于是中位线,故最短的等于点到距离的一半,即.
6.
由于,所以,展开化简得.由正弦定理得,所以,解得.设,设外切圆半径为,根据海伦公式有,解得,故.
【点睛】本小题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查了三角形的面积公式,包括海伦公式及有关内切圆的面积公式.首先根据,及,得到,利用两角和与差的正弦公式和二倍角公式,化简这个式子可求得的值.利用海伦公式可求得面积.
7.
(1)见解析;
(2).
试题分析:
(1)由,可得,从而得证;
(2)由,可用裂项相消法求和.
试题解析:
(1)∵,∴.
又,∴,.
∴是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由
(1)知,
∴,
∴
.
点睛:
本题主要考查等差数列的通项与等比数列的通项公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:
(1);
(2);
(3);
(4);
此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
8.
(1);
【试题分析】
(1)由计算出,再由总数计算出,按比例计算得应抽人数.
(2)由
(1)知,且,,利用列举法和古典概型计算公式计算得相应的概率.
【试题解析】
(1)由题意得,即.
∴,
∴在城中应抽取的数据个数为.
(2)由
(1)知,且,,
∴满足条件的数对可能的结果有,,,,,,,共8种.
其中“空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有,,共3种.
∴在城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率为.
9.
(1)见解析;
(1)取的中点,连结、,通过证明四边形为平行四边形,得到,由此证得平面.
(2)利用等体积法,通过建立方程,由此求得点到面的距离.
【详解】
(1)取的中点,连结、,
由题意,且,且,
故且,所以,四边形为平行四边形,
所以,,又平面,平面,
所以,平面.
(2)设点到平面的距离为.
由题意知在中,
,
在中,
故,,
,
所以由得:
解得.
10.
(1);
(2)见解析.
(1)根据三角形面积公式和离心率建立方程,解方程组可求得的值.
(2)设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算.化简后可得为常数.
(1)由题意得(其中椭圆的半焦距),
所以椭圆的方程为:
(2)由题意设直线的方程为:
,,,
由得:
所以,
故,
(常数).
11.
(1);
(1)求出函数的导数,通过求得的值,根据单调区间求得函数的最大值.
(2)将原不等式转化为,构造函数,对求导,对两者比较大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.
(1),
由题意得,即,所以,
所以,
当时,;
当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以.
(2)由题意得,都有
,
令函数,
当时,在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,
所以在上单调递减,故,
所以实数的取值范围为.
同理,当时,在上单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,
所以在上单调递减,故.
所以实数的取值范围为,
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查函数导数与不等式恒成立问题.与函数最值有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图像,讨论其图象与轴的位置关系,进而确定参数的取值范围;
或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.
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