届人教A版理科数学 导数求极值最值单元测试Word文件下载.docx
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A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 因为f(x)=+lnx,所以f′(x)=-+=,且x>
0.当x>
2时,f′(x)>
0,这时f(x)为增函数;
当0<
2时,f′(x)<
0,这时f(x)为减函数.所以x=2为f(x)的极小值点.故选D.
4.(2018·
山西太原期中)设函数f(x)=x3-x+m的极大值为1,则函数f(x)的极小值为( )
A.- B.-1
C.D.1
答案 A
解析 f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x1=1,x2=-1.所以f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,且f(-1)=1,即m=,函数f(x)在x=1处取得极小值,且f
(1)=×
13-1+=-.故选A.
5.(2018·
苏锡常镇一调)f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1,1]上的最大值是( )
A.1+B.1
C.e+1D.e-1
解析 f′(x)=ex-1,令f′(x)=0,得x=0.令f′(x)>
0,得x>
0,令f′(x)<
0,得x<
0,则函数f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,f(-1)=e-1+1,f
(1)=e-1,f(-1)-f
(1)=+2-e<
+2-e<
0,所以f
(1)>
f(-1).故选D.
6.若函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和,则( )
A.a-2b=0B.2a-b=0
C.2a+b=0D.a+2b=0
解析 y′=3ax2+2bx,据题意,0,是方程3ax2+2bx=0的两根,∴-=,∴a+2b=0.
7.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37B.-29
C.-5D.以上都不对
解析 f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
∴f(x)在(-2,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减.
∴x=0为极大值点,也为最大值点.
∴f(0)=m=3,∴m=3.
∴f(-2)=-37,f
(2)=-5.
∴最小值是-37,选A.
8.若函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有极小值,则( )
A.0<b<1B.b<1
C.b>0D.b<
解析 f(x)在(0,1)内有极小值,则f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先负后正,∴f′(0)=-3b<0.
∴b>0.f′
(1)=3-3b>0,∴b<1.
综上,b的取值范围为0<b<1.
9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图像可能是( )
解析 由f(x)在x=-2处取得极小值可知,
当x<
-2时,f′(x)<
0,则xf′(x)>
0;
当-2<
0时,f′(x)>
0,则xf′(x)<
当x>
0时,xf′(x)>
0.
10.已知f(x)=x3+px2+qx的图像与x轴相切于非原点的一点,且f(x)极小值=-4,那么p,q值分别为( )
A.6,9B.9,6
C.4,2D.8,6
解析 设图像与x轴的切点为(t,0)(t≠0),
设注意t≠0,
可得出p=-2t,q=t2.∴p2=4q,只有A满足这个等式(亦可直接计算出t=-3).
11.若函数f(x)=ax3-3x+1对于x∈[-1,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.[4,+∞)
C.{4}D.[2,4]
解析 f′(x)=3ax2-3,
当a≤0时,f(x)min=f
(1)=a-2≥0,a≥2,不合题意;
a≤1时,f′(x)=3ax2-3=3a(x+)(x-),f(x)在[-1,1]上为减函数,
f(x)min=f
(1)=a-2≥0,a≥2,不合题意;
当a>
1时,f(-1)=-a+4≥0,且f()=-+1≥0,解得a=4.综上所述,a=4.
12.若f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.
答案 6
解析 f′(x)=3x2-4cx+c2,
∵f(x)在x=2处有极大值,∴解得c=6.
13.(2018·
河南信阳调研)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则f
(2)的值为________.
答案 18
解析 f′(x)=3x2+2ax+b,由题意得即解得或
当a=-3,b=3时,f′(x)=3(x-1)2≥0,f(x)无极值.
当a=4,b=-11时,令f′(x)=0,得x1=1,x2=-.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-)
-
(-,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
f(x)
极大值
极小值
∴f(x)=x3+4x2-11x+16,f
(2)=18.
14.(2018·
北京市昌平区一模)若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a=________.
答案 3
解析 f′(x)=,由f(x)在x=1处取得极值知f′
(1)=0,∴a=3.
15.已知函数f(x)=+lnx,g(x)=x3+x2-x.
(1)若m=3,求f(x)的极值;
(2)若对于任意的s,t∈[,2],都有f(s)≥g(t),求实数m的取值范围.
答案
(1)f(x)有极小值f(3)=1+ln3,没有极大值
(2)[1,+∞)
解析
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当m=3时,f(x)=+lnx.
∵f′(x)=-+=,f′(3)=0,
∴当x>
3时,f′(x)>
0,f(x)是增函数,
3时,f′(x)<
0,f(x)是减函数.
∴f(x)有极小值f(3)=1+ln3,没有极大值.
(2)g(x)=x3+x2-x,g′(x)=3x2+2x-1.
当x∈[,2]时,g′(x)>
0,
∴g(x)在[,2]上是单调递增函数,g
(2)=10最大.
对于任意的s,t∈[,2],f(s)≥g(t)恒成立,即对任意x∈[,2],
f(x)=+lnx≥1恒成立,∴m≥x-xlnx.
令h(x)=x-xlnx,则h′(x)=1-lnx-1=-lnx.
1时,h′(x)<
0,当0<
1时,h′(x)>
∴h(x)在(0,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,
当x∈[,2]时,h(x)最大值为h
(1)=1,
∴m≥1,即m∈[1,+∞).
16.(2018·
贵州遵义联考)已知函数f(x)=x3-ax2+10.
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)在区间[1,2]内至少存在一个实数x,使得f(x)<
0成立,求实数a的取值范围.
答案
(1)(-∞,0)和(,+∞)
(2)(,+∞)
解析
(1)当a=1时,f′(x)=3x2-2x,
由f′(x)>
0或x>
,
所以函数y=f(x)在(-∞,0)与(,+∞)上为增函数,
即函数y=f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(,+∞).
(2)f′(x)=3x2-2ax=3x(x-a),
当a≤1,即a≤时,f′(x)≥0在[1,2]恒成立,f(x)在[1,2]上为增函数,
故f(x)min=f
(1)=11-a,
所以11-a<
0,a>
11,这与a≤矛盾.
当1<
a<
2,即<
3时,
若1≤x<
a,则f′(x)<
若a<
x≤2,则f′(x)>
所以当x=a时,f(x)取得最小值,
因此f(a)<
0,即a3-a3+10=-a3+10<
0,可得a>
3,这与<
3矛盾.
当a≥2,即a≥3时,f′(x)≤0在[1,2]恒成立,f(x)在[1,2]上为减函数,
所以f(x)min=f
(2)=18-4a,所以18-4a<
0,解得a>
,满足a≥3.
综上所述,实数a的取值范围为(,+∞).
17.已知函数f(x)=(x-k)ex.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.
答案
(1)减区间(-∞,k-1),增区间(k-1,+∞)
(2)k≤1时,最小值f(0)=-k;
1<
k<
2时,最小值f(k-1)=-ek-1;
k≥2时,最小值f
(1)=(1-k)e
解析
(1)f′(x)=(x-k+1)ex.
令f′(x)=0,得x=k-1.
f(x)与f′(x)的变化情况如下表:
(-∞,k-1)
k-1
(k-1,+∞)
-ek-1
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1),单调递增区间是(k-1,+∞).
(2)当k-1≤0,即k≤1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;
k-1<
1,即1<
2时,
由
(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;
当k-1≥1,即k≥2时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f
(1)=(1-k)e.
1.(2017·
河北辛集中学月考)连续函数f(x)的导函数为f′(x),若(x+1)·
f′(x)>
0,则下列结论中正确的是( )
A.x=-1一定是函数f(x)的极大值点
B.x=-1一定是函数f(x)的极小值点
C.x=-1不是函数f(x)的极值点
D.x=-1不一定是函数f(x)的极值点
解析 x>
-1时,f′(x)>
0,x<
-1时,f′(x)<
∴连续函数f(x)在(-∞,-1)递减,在(-1,+∞)递增.
∴x=-1为极小值点.
2.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围( )
A.m>
0B.m<
C.m>
1D.m<
解析 y′=ex+m,则ex+m=0必有根,∴m=-ex<
3.函数f(x)=,x∈[0,4]的最大值是( )
A.0B.
C.D.
4.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a=( )
A.2B.3
C.4D.5
解析 f′(x)=3x2+2ax+3,令f′(-3)=0,得a=5.
5.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a<
-B.a>
C
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