高数二重积分习题解答.docx
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高数二重积分习题解答
第9章重积分及其应用
1.用二重积分表示下列立体的体积:
(1)上半球体:
;
(2)由抛物面
,柱面x2+y2=1及xOy平面所围成的空间立体
解答:
(1)
;
(2)
所属章节:
第九章第一节
难度:
一级
2.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:
(1)
,其中D为
;
(2)
,其中D为
解答:
(1)
;
(2)
所属章节:
第九章第一节
难度:
一级
3.一带电薄板位于xOy平面上,占有闭区域D,薄板上电荷分布的面密度为
,且
在D上连续,试用二重积分表示该板上的全部电荷Q.
解答:
所属章节:
第九章第一节
难度:
一级
4.将一平面薄板铅直浸没于水中,取x轴铅直向下,y轴位于水平面上,并设薄板占有xOy平面上的闭区域D,试用二重积分表示薄板的一侧所受到的水压力
解答:
所属章节:
第九章第一节
难度:
一级
5.利用二重积分性质,比较下列各组二重积分的大小
(1)
与
,其中D是由x轴,y轴及直线x+y=1所围成的区域;
(2)
与
,其中D是矩形区域:
0≤x≤1,0≤y≤1;
(3)
与
,其中D是任一平面有界闭区域;
(4)
与
,其中D是矩形区域:
–1≤x≤0,0≤y≤1;
解答:
(1)在区域D内部,
,所以I1>I2;
(2)在区域D内部,
,故
,所以I1>I2;?
(3)由于
,所以I1 (4)在区域D内部, ,故 ,所以I1>I2 所属章节: 第九章第一节 难度: 一级 6.利用二重积分性质,估计下列二重积分的值 (1) ; (2) ; (3) ; (4) 解答: (1)由于 的面积为32,在其中 ,而等号不恒成立,故 ; (2)由于 的面积为 ,在其中 ,而等号不恒成立,故 ; (3)由于 的面积为 ,在其中 ,而等号不恒成立,故 ; 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将 改为 ,则区域面积为200,结论为 (4)由于 的面积为 ,在其中 ,而等号不恒成立,故 . 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级 7.设f(x,y)是连续函数,试求极限: 解答: 先用积分中值定理,再利用函数的连续性,即得 . 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级 8.设f(x,y)在有界闭区域D上非负连续,证明: (1)若f(x,y)不恒为零,则 ; (2)若 ,则f(x,y)≡0 解答: (1)若f(x,y)不恒为零,则存在 , ,利用连续函数的保号性,存在 的一个邻域 ,在其上恒有 ,于是 ,而 ,所以 ; (2)假若f(x,y)不恒为零,则由上题知 ,矛盾,故f(x,y)≡0. 所属章节: 第九章第一节 难度: 二级 9.计算下列二重积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 10.画出下列各题中给出的区域D,并将二重积分 化为两种次序不同的二次积分: (1)D由曲线y=lnx,直线x=2及 轴所围成; (2)D由抛物线y=x2与直线2x+y=3所围成; (3)D由y=0及y=sinx(0≤x≤π)所围成; (4)D由曲线y=x3,y=x所围成; (5)D由直线y=0,y=1,y=x,y=x–2所围成 解答: 本题图略,建议画出 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 注: 原题有误? 还是原参考答案有误? 如将“D由曲线y=x3,y=x所围成”改为“D由曲线 所围成”,则答案为原参考答案 ; (5) 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 11.计算下列二重积分: (1) ,D由曲线x=2,y=x,xy=1所围成; (2) ,D由点(0,0),(π,0),(π,π)为顶点的三角形区域; (3) ,D由抛物线 和y=x2围成; (4) ,D由抛物线y2=x与直线y=x–2所围成; (5) ,D由直线y=x,y=2和曲线x=y3所围成 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 12.画出下列各题中的积分区域,并交换积分次序(假定f(x,y)在积分区域上连续): (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) 解答: 本题图略,建议画出 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 13.计算下列二次积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 14.利用积分区域的对称性和被积函数关于x或y的奇偶性,计算下列二重积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 解答: (1)设 ,则 ; (2) ; (3)由于积分区域关于 对称,被积函数是关于y的奇函数,故 ; (4)设 ,则 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 15.利用极坐标化二重积分 为二次积分,其中积分区域D为: (1) ; (2) ; (3) ; (4) (5) 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 16.利用极坐标计算下列二重积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) ,D: 第一象限中由圆 及直线 所围成. 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 注: 本小题与第9大题第(5)小题相同. (5) ; (6) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 17.设r,θ为极坐标,在下列积分中交换积分次序: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 一级 18.计算下列二次积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 19.计算下列二重积分: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 20.选择适当坐标计算下列各题: (1) ,其中D是由双曲线xy=1与直线y=x,x=2围成; (2) ,其中 ; (3) ,其中D是直线y=x,y=x+a,y=a,y=3a(a>0)围成; (4) ,其中 . 解答: (1) ; 注: 本小题与第11大题第 (1)小题重复. (2) ; (3) ; (4) . 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 21.用适当的变量变换,计算下列二重积分: (1) ,中D是椭圆形闭区域 位于第一象限内的部分; (2) ,D是由双曲线xy=1,xy=2与直线x=y,x=4y所围成的在第一象限内的闭区域; (3) ,D是椭圆形闭区域 ; (4) ,D是闭区域|x|+|y|≤1; (5) ,其中D是以(π,0),(3π,2π),(2π,3π),(0,π)为顶点的平行四边形; 参考答案: (1) (提示: 作变换 ); (2) (提示: 作变换 ); (3) (提示: 作变换 ); (4) (提示: 作变换 ); (5)78π5(提示: 作变换 ) 解答: (1)作变换 ,则 , ; (2)作变换 ,则 , ; (3)作变换 ,则 , ; (4)作变换 ,则 , ; (5)作变换 ,则 . (原参考答案有误? ) 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 22.利用二重积分求下列平面区域的面积: (1)D由曲线 及x=1围成; (2)D由曲线y=x+1,y2=–x–1围成; (3)D由双纽线 围成; (4) ; (5) ; (6)D由曲线 围成; (7)D由曲线y=x3,y=4x3,x=y3,x=4y3所围成的第一象限部分 参考答案: (1) ; (2) ;(3)4;(4) ;(5) ;(6) ;(7) 解答: (1) ; (2) ; (3)双纽线 用极坐标表示 , ; (4) ; (5) ; (6)曲线 用极坐标表示 , ; (7) ? 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 23.利用二重积分求下列各题中的立体Ω的体积: (1)Ω为第一象限中由圆柱面y2+z2=4与平面x=2y,x=0,z=0所围成;(注: 象限应为卦限? ) (2)Ω由平面y=0,z=0,y=x及6x+2y+3z=6围成; (3) ; (4) ; 参考答案: (1) ; (2) ;(3) ;(4) 解答: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 所属章节: 第九章第二节 难度: 二级 24.设f(x)在[0,1]上连续,D由点(0,0)、(1,0)、(0,1)为顶点的三角形区域,证明: 解答: 将二重积分化为二次积分,再用积分变换u=x+y,然后交换积分顺序 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 25.设f(x)连续,证明: 解答: 作变量变换 ,则 , . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 26.设f(x)在[a,b]上连续,证明: 解答: 设区域 ,则 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 27.设f(x)在[a,b]上连续,f(x)>0,证明: 解答: 设区域 ,则 , , 所以 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 28.在曲线族y=c(1–x2)(c>0)中试选一条曲线,使这条曲线和它在(–1,0)及(1,0)两点处的法线所围成的图形面积最小 解答: 曲线在(1,0)处的法线为 ,由对称性知所围图形面积为 , 令 ,得唯一驻点 (负值舍去) 又由于该实际问题的最小值存在,故当 时,所围图形面积最小,为 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 29.设f(x)是连续函数,区域D由y=x3,y=1,x=–1围成,计算二重积分 解答: 将D分成两块,记为 , 则由函数的奇偶性与积分区域的对称性得 . 所属章节: 第九章第二节 难度: 三级 30.设f(x)、g(x)在[0,1]上连续且都是单调减少的,试证: 解答: 设 ,则 , 类似地有 ,两式相加,并利用条件f(x)、g(x)在[0,1]上连续且都是单调减少的,就有 , 所以 ,即 . 所属章节
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