届高三上学期统测五数学理试题Word格式.docx
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A.(0,)B.(]C.[)D.[]
8.已知a=log2e,b=ln2,c=log,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b
二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)
9.已知i为虚数单位,则=______.
10.一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为______.
11.已知曲线y=x3与直线y=kx(k>0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k=______.
12.已知函数f(x)=
若函数f(x)-ax=0恰有3个零点,则实数a的取值范围为______.
13.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则的最小值是__________.
三、解答题(本大题共7小题,共93.0分)
14.已知函数f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx(x∈R).
(Ⅰ)求f
(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求f
(x)在区间[]上的最大值与最小值.
15.某大学现有6名包括A在内的男志愿者和4名包括B在内的女志愿者,这10名志愿者要参加第十三届全运会志愿服务工作,从这些人随机抽取5人参加田赛服务工作,另外5人参加径赛服务工作.
(Ⅰ)求参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的概率;
(Ⅱ)设X表示参加径赛服务工作的女志愿者人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
16.在如图所示的几何体中,DE∥AC,∠ACB=∠ACD=90°
,AC=2DE=3,BC=2,DC=1,二面角B-AC-E的大小为60°
.
(Ⅰ)求证:
BD⊥平面ACDE;
(Ⅱ)求平面BCD与平面BAE所成角(锐角)的大小;
(Ⅲ)若F为AB的中点,求直线EF与平面BDE所成角的大小.
17.已知{an}是等比数列,满足a1=2,且a2,a3+2,a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=2nan,数列{bn}的前n项和为Sn,(n≥2,n∈N*),求正整数k的值,使得对任意n≥2均有g(k)≥g(n).
18.已知函数f(x)=ln
x+a(1-x)(a∈R).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a=-时,令g(x)=x2-1-2f(x),其导函数为g′(x).设x1,x2是函数g(x)的两个零点,判断是否为g′(x)的零点?
并说明理由.
19.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明:
x1+g(x2)=;
(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
20.如图,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(Ⅰ)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:
MN∥平面CDE;
(Ⅱ)求二面角E-BC-F的正弦值;
(Ⅲ)若点P在线段DG上,且直线BP与平面ADGE所成的角为60°
,求线段DP的长.
答案和解析
1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】D
【解析】7.【答案】B8.【答案】D
【解析】
解:
a=log2e>1,0<b=ln2<1,c=log=log23>log2e=a,
则a,b,c的大小关系c>a>b,
故选:
D.
根据对数函数的单调性即可比较.
本题考查了对数函数的图象和性质,属于基础题,
9.【答案】10.【答案】3611.【答案】4
12.【答案】[,)
画出函数f(x)的图象,如图所示:
,
若函数f(x)-ax=0恰有3个零点,
则f(x)=ax恰有3个交点,
当a=时,y=x和y=f(x)有3个交点,(如红色直线),
直线y=ax和f(x)相切时,(如绿色直线),
设切点是(m,lnm),由(lnx)′=,
故a=,故lnm=1,解得:
m=1,
故a=,
故直线y=x和f(x)相切时,2个交点,
综上,a∈[,),
故答案为:
[,).
画出函数的图象,结合图象求出a的范围即可.
本题考查了数形结合思想,考查函数零点问题,是一道中档题.
13.【答案】
14.【答案】解:
(Ⅰ)函数f(x)=cos2x-sin2x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
…(2分)
=2(cos2x+sin2x)
=2sin(2x+);
…(4分)
所以T==π,所以f(x)的最小正周期为π;
…(6分)
(Ⅱ)由x∈[-,],得2x+∈[-,],…(7分)
所以当2x+∈[-,],即x∈[-,]时,函数f(x)单调递增;
当2x+∈[,],即x∈[,]时,函数f(x)单调递减;
…(9分)
且当2x+=-,即x=-时,sin(2x+)=-,此时f(x)=2sin(2x+)=-1;
当2x+=,即x=时,sin(2x+)=1,此时f(x)=2sin(2x+)=-2;
当2x+=,即x=时,sin(2x+)=,此时f(x)=2sin(2x+)=-;
…(12分)
所以当x=-时,f(x)取得最小值-1;
当x=时,f(x)取得最大值2.…(13分)
(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数,再求出它的最小正周期;
(Ⅱ)由x∈[-,]求得f(x)的单调区间,从而求得f(x)的最大、最小值.
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角恒等变换的问题,是中档题.
15.【答案】解:
(I)记参加田赛服务工作的志愿者中包含A但不包含B的事件为M,
则基本事件的总数为,
事件M包含基本事件的个数为,
则P(M)==.
(II)由题意知X可取的值为:
0,1,2,3,4.
则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,P(X=4
)==.
因此X分布列为:
X
1
2
3
4
P
∴X的数学期望为EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=2.
(I)根据组合数公式和古典概型概率公式计算;
(II)利用超几何分布的概率公式求出概率卖得出分布列,再计算数学期望.
本题考查了古典概型的概率计算,超几何分布列与数学期望,属于中档题.
16.【答案】
(Ⅰ)证明:
∵∠ACB=∠ACD=90°
,∴AC⊥CD,AC⊥CB,
∴∠BCD为二面角B-AC-E的平面角,即∠BCD=60°
,
在△BCD中,BC=2,CD=1,∠BCD=60°
∴,
∴BD2+DC2=BC2,即BD⊥DC,
由AC⊥CD,AC⊥CB,且BC∩DC=C,可知AC⊥平面BCD,
又BD⊂平面BCD,∴AC⊥BD,
又∵AC∩CD=C,AC⊂平面ACDE,DC⊂平面ACDE,
∴BD⊥平面ACDE;
(Ⅱ)解:
由BD⊥平面ACDE,得BD⊥DC,BD⊥DE,
又AC⊥CD,即DB,DC,DE两两垂直,
则分别以DB,DC,DE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
由(Ⅰ)知,BD=,则D(0,0,0),B(,0,0),C(0,1,0),
由AC=2DE=3,得E(0,0,),A(0,1,3),
∴,,
设平面BAE的一个法向量为,
则,取y=3,可得,
由AC⊥平面BCD,可知平面BCD的一个法向量为,
设平面BCD与平面BAE所成的角(锐角)为θ,
∴cosθ=|cos<>|=||=,于是,
∴平面BCD与平面BAE所成的角(锐角)为;
(Ⅲ)解:
若F为AB的中点,则由(II)可得F(),
依题意CD⊥平面BDE,可知平面BDE的一个法向量为,
设直线EF与平面BDE所成角为α,则
sinα=|cos<>|=||=,
∴直线EF与平面BDE所成角的大小.
本题考查直线与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求解线面角与面面角,是中档题.
17.【答案】解:
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,则由条件得:
2(a3+2)=a2+a4,
又a1=2,则2(2q2+2)=2q+2q3,
因为1+q2>0,解得:
q=2,
故an=2n;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:
bn=2nan=n•2n+1,
则前n项和为Sn=1•22+2•23+…+n•2n+1
①
2Sn=1•23+2•24+…+n•2n+2
②,
①-②得:
-Sn=22+23+…+2n+1-n•2n+2
=-n•2n+2,
化简可得Sn=4+(n-1)•2n+2,
则g(n)==(n≥2,n∈N*),
由g(n+1)-g(n)=-=,
得当9-2n>0,即2≤n≤4时,g
(2)<g(3)<g(4)<g(5);
当9-2n<0,即n≥5时,g(5)>g(6)>g(7)>…;
所以对任意n≥2,且n∈N*均有g(5)≥g(n),
故k=5.
18.【答案】解:
(Ⅰ)依题意,知函数的定义域为(0,+∞),且f′(x)=-a,
1°
当a≤0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
2°
当a>0时,令f′(x)=0,得x=,
x
(0,)
(,+∞)
f′(x)
+
f(x)
↗
极大值
↘
所以,f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,+∞)内单调递减.
(Ⅱ)不是导函数g′(x)的零点,
由(Ⅰ)知,g(x)=x2-2lnx-x,
∵x1,x2是函数g(x)的两个零点,不妨设0<x1<x2,
∴x12-2lnx1-x1=0,x22-2lnx2-x2=0,
两式相减,得(x1-x2)(x1+x2-1)=2(lnx1-lnx2),
即x1+x2-1=,
又g′(x)=2x--1,
∴g′()=x1+x2--1=-=[(lnx1-lnx2)-],
设t=,则0<t<1,
令φ(t)=lnt-,
∴φ′(t)=-=>0在(0,1)恒成立,
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- 届高三 上学 期统测五数 学理 试题