燕博园高三年级综合能力测试CAT三理数答案 1Word格式文档下载.docx

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⎛1+

a⎫4

x⎪

常数项为1+C1⋅a+C2⋅a2=1.

⎝⎭

解得：

a=0或-2.故选B.

7.D【解析】16在第三象限，则cos16<

0.进行一次循环得到

m=8,n=2.8在第二象限，则cos8<

0.又进行一次循环得到m=4,n=3.4在第三象限，

cos4<

0.

又进行一次循环得到m=2,n=4.2在第二象限，cos2<

0.又进行一次循环得到

m=1,n=5，此时cos1>

0.故输出n为5.故选D.

8.B【解析】平移后的函数为g（x）=sin（πx+ϕ+π）

，由g（x）为偶函数可以推出ϕ=.

π

6

ππ

则f（x）=sin（πx+）.所以f（x）的单调递增区间为πx⎛2kπ-π,2kπ+π⎫,

6+6∈ç

22⎪

k∈Z

9.A令

即x∈（2k-2,2k+1）,k∈Z.故选B.

f（x）=lnx-x2，定义域为（-∞,0）

且f（-x）=lnx-x2=f（x），故函数

y=lnx-x2为偶函数，图象关于y轴对称，排除B、D；

考虑g（x）=lnx-x2，g'

（x）=1-2x，

x

当x∈（0,2）时g'

（x）=1-2x>

0，g（x）=lnx-x2单调递增，排除C.选A.

2x

10.A

11.B【解析】考虑到对称性，不妨设P点在第一象限.令l:

x=-1，过P作PK⊥l于K.

根据抛物线的第一定义,PK=PF.则若要使

最小，则直线PA的斜率应最大.

令PA:

x=ky-1，代入抛物线方程得：

y2-4ky+4=0，∆=16k2-16≥0.则k最小为

1.此时P点坐标为（1,2）.圆心O到直线PF的距离为1.故选B.

12.A【解析】如图为函数图像，若函数y=

f（x）-k有三个不同的零点，则k∈（0,1].

又由于函数

log5x的性质log5x1+log5x2=0.则x1x2=1.又

x∈⎡11,6⎫.所以xxx∈⎡11,6⎫.故选A.

3⎢2⎪

123

⎢⎣2⎪

⎣⎭⎭

13.

-2【解析】a-2b=（4,4-2m）

24

可得：

=

，解得m=-2.

14.

44-2m

【解析】sinB=2sinC由正弦定理知b=2c.

2（2c）2+c2-14

A=2π，由余弦定理知：

cos

π=

32⋅2c⋅c

.解得：

c=±

2.故满足条件的c=2.

15.17（若153也给分）【解析】PF

-

PF

=6，则点P应该在双曲线的右侧.

412

x2-y2=



12

251

29c=

依题意得P满足

9b2

，得：

-=1.解得：

b=，得，

9b2164

e=c=

a

17.

4

16.40003π【解析】显然该三棱锥的底面（面

27C

BDE）与俯视图相同，有一个侧面（面ECD）与正视图相同且垂直于底面。

首先确定外接球的半径.由

A为三角形BDE的圆心知球心必定在直线AC上.

考虑截面ABC设外界球半径为x.则ED

（5-x）2+52=x2.解得x=103.则外接球体B

积为V=

4πx3=4

π⋅⎛10

⎝

3⎫=π.

⎭27

17.（Ⅰ）证明：

因为an+1=Sn+n+1（n=1,2,3,），①

所以an=Sn-1+n（n≥2）.②……………………1分

因为an=Sn-Sn-1（n≥2），……………………2分

所以①-②可得an+1-an=an+1，即an+1=2an+1.……………………3分所以an+1+1=2（an+1）.……………………5分

又a=1,∴a

=3,

a2+1=2，故{a+1}为等比数列.……………………6分

12+1n

【说明1：

要写出{an+1}前两项之比也为2才得到6分】

【说明2：

若通过已知条件求出数列前几项，正确猜出{an+1}为等比数列，一律给2分】

（Ⅱ）不存在.……………………7分

n

理由如下：

由（Ⅰ）得a=2n-1.………………………8分假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项为ar,as,at，则

2⋅（2s-1）=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.……………………9分

【说明3：

要写出存在三项并将a=2n-1公式代入，才得到9分】

所以2r-s-1+2t-s-1=1.……………………10分

因{an}是递增数列，则r-s-1≥0,t-s-1≥0中必有一个成立.

则2r-s-1+2t-s-1>

1与2r-s-1+2t-s-1=1矛盾.

数列{an}中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列.………12分

【说明4：

10分到12分段,要说出出现矛盾才即得到1分,有适当的理由给1分】18.（Ⅰ）证明：

因面PAD⊥面ABCD，AB⊥AD，面PAD面ABCD=AD，所以AB⊥平面PAD.………………1分

则PD⊥AB.…………………2分因PA=PC，AB=BC,PB=PB，得∆PAB≅∆PCB.……3分又AB⊥PA，则∠PCB=∠PAB=90︒.

即BC⊥PC.………………4分同理可证：

BC⊥CD.所以BC⊥平面PCD.

所以BC⊥PD.………………5分x

因为BCAB=B，所以PD⊥平面ABCD.……………6分

要说出过程“BCAB=B”才得到6分】

（Ⅱ）分别以A为原点，AB,AD所在直线为x轴，y轴，过A垂直于平面ABCD的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…………………7分

则B（23,0,0）,C（3,3,0）,D（0,2,0）,P（0,2,3）.…………………8分

要正确写出B,C,D,P四个点的坐标才得到8分】

则AB=（23,0,0）,

AP=（0,2,3）,CD=（-

3,-1,0）

⎧⎪n⋅AB=0,

设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则⎨

⎪⎩n⋅AP=0,

⎧⎪23x=0,

即⎨

⎪⎩2y+3z=0.

令y=-3，得平面PAB的一个法向量为n=（0,-3,2）.……………10分

若法向量正确就可以给到10分；

若法向量错误，但有一定的求法向量过程（不一定正确），可给到9分】

设直线CD与平面PAB所成角为θ，则sinθ=

……………11分

==313.所以直线CD与平面PAB所成角的正弦值为313.………12分

2626

解法二:

19.解：

（Ⅰ）𝑦

=𝑎

𝑥

+𝑏

更适合于模型.……………………2分

（Ⅱ）根据最小二乘法公式

∑

7

（x-xi）（y-yi）

7

β=i=1=0.0857.……………………4分

i

∑（x-x）2

i=1

列式正确给1分，若计算结果为0.08571或0.086都给分】

α=y-βx……………………5分

=-1.3668.……………………6分

y=0.0857x-1.3668.……………………8分

（Ⅲ）要求不发生车祸，需要满足y=0.0857x-1.3668<

30.……………………10分

懂y=30得给1分】

故𝑥

<

366.007.……………………11分

即𝑤

19.1313.此时车速度满足小于19.1313米/秒才能避免这次车祸.……………12分

若计算的结果在范围[19,19.2]内都给分】

x2y2

20.解：

（Ⅰ）因椭圆0）经过点

，则a=

.………………1分

a2b2

A（2,0）2

又a2-b2=c2，………………………2分

c=1,所以b2=3.………………………………3分

x2+y2=

43

不出现“b”或“b2”，直接得出结论的扣1分】

（Ⅱ）由题意可知直线l不与x轴垂直，可设直线l方程为y=kx+m.…………5分

x2

代入椭圆方程

+

y2

=1，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，且∆>

设M（x,y）,N（x,y），则x+x=-8km，xx=

1122123+4k212

应用韦达定理两个关系都正确才给分】

4（m2-3）

3+4k2

.……………