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〖例〗已知数列{}的前n项和为,且满足
(1)求证:
{}是等差数列;
(2)求的表达式。
(1)与的关系结论;
(2)由的关系式的关系式
(1)等式两边同除以得-+2=0,即-=2(n≥2).∴{}是以==2为首项,以2为公差的等差数列。
(2)由
(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×
2=2n,∴=,当n≥2时,=2·
=。
又∵,不适合上式,故。
【例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1.其前n项和Sn满足2Sn=2pa+an-p(p∈R),则{an}的通项公式为________.
∵a1=1,∴2a1=2pa+a1-p,
即2=2p+1-p,得p=1.
于是2Sn=2a+an-1.
当n≥2时,有2Sn-1=2a+an-1-1,两式相减,得2an=2a-2a+an-an-1,整理,得2(an+an-1)·
(an-an-1-)=0.
又∵an>
0,∴an-an-1=,于是{an}是等差数列,故an=1+(n-1)·
=.
(二)等差数列的基本运算
1、等差数列的通项公式=+(n-1)d及前n项和公式,共涉及五个量,,d,n,,“知三求二”,体现了用方程的思想解决问题;
2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法。
因为,故数列{}是等差数列。
〖例〗已知数列{}的首项=3,通项,且,,成等差数列。
求:
(1)的值;
(2)数列{}的前n项和的公式。
(1)由=3与,,成等差数列列出方程组即可求出;
(2)通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。
(1)由=3得……………………………………①
又,得…………………②
由①②联立得。
(2)由
(1)得,
(三)等差数列的性质
1、等差数列的单调性:
等差数列公差为d,若d>
0,则数列递增;
若d<
0,则数列递减;
若d=0,则数列为常数列。
★2、等差数列的简单性质:
略
典型例题
1.等差数列中,若,则225;
2.(厦门)在等差数列中,,则其前9项的和S9等于(A)
A.18B27C36D9
3、(全国卷Ⅰ理)设等差数列的前项和为,若,则=24
4、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为(C)
(A)130(B)170(C)210(D)160
5.(湖北卷)已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是( D )
A.2B.3C.4D.5
6、在数列{an}中,若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=________.
由an+1=2an+3,则有an+1+3=2(an+3),
即=2.
所以数列{an+3}是以a1+3为首项、公比为2的等比数列,即an+3=4·
2n-1=2n+1,所以an=2n+1-3.
7、已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|的值等于________.
如图所示,易知抛物线y=x2-2x+m与y=x2-2x+n有相同的对称轴x=1,它们与x轴的四个交点依次为A、B、C、D.
因为xA=,则xD=.
又|AB|=|BC|=|CD|,所以xB=,xC=.
故|m-n|=|×
-×
|=.
8、在等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为________.
设公差为d,则11(-3+4d)=5(-3+7d)-13,
∴d=.
∴数列{an}为递增数列.
令an≤0,∴-3+(n-1)·
≤0,∴n≤,
∵n∈N*.
∴前6项均为负值,∴Sn的最小值为S6=-.
6.若两个等差数列和的前项和分别为和,且满足,则6.
7.(北京卷)(16)(本小题共13分)
已知为等差数列,且,。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若等差数列满足,,求的前n项和公式
解:
(Ⅰ)设等差数列的公差。
因为
所以解得
所以
(Ⅱ)设等比数列的公比为
所以即=3
所以的前项和公式为
★等差数列的最值:
若是等差数列,求前n项和的最值时,
(1)若a1>
0,d>
0,且满足,前n项和最大;
(2)若a1<
0,且满足,前n项和最小;
(3)除上面方法外,还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意。
〖例〗已知数列是等差数列。
(1)若
(2)若
设首项为,公差为,
(1)由,
∴
(2)由已知可得解得
【例】已知数列{an}的各项均为正数,Sn为其前n项和,对于任意的n∈N*,满足关系式2Sn=3an-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}的通项公式是bn=,前n项和为Tn,求证:
对于任意的正整数n,总有Tn<
1.
(1)解 ①当n=1时,由2Sn=3an-3得,2a1=3a1-3,
∴a1=3.
②当n≥2时,由2Sn=3an-3得,
2Sn-1=3an-1-3.
两式相减得:
2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,即2an=3an-3an-1,
∴an=3an-1,又∵a1=3≠0,∴{an}是等比数列,∴an=3n.
验证:
当n=1时,a1=3也适合an=3n.
∴{an}的通项公式为an=3n.
(2)证明 ∵bn==
==-,
∴Tn=b1+b2+…+bn
=(1-)+(-)+…+(-)
=1-<
等差数列习题
1.设{an}为等差数列,Sn为{an}的前n项和,S7=7,S15=75,已知Tn为数列{}的前n项数,求Tn.
2.已知数列是等差数列,其前n项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求.
12.解:
设数列{an}的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d.
∵S7=7,S15=75,∴, ∴
∴=a1+·
(n-1)d=-2+·
(n-1)
∴-= ∴数列{}是等差数列,其首项为-2,公差为,
∴Tn=n·
(-2)+·
=n2-n.
14.解:
(1)设数列的公差为d,由题意得方程组 ,解得
,∴数列的通项公式为,即.
(2)∵,∴.
∴
.
B、等比数列知识点及练习题
等比数列及其前n项和
(一)等比数列的判定
判定方法有:
(1)定义法:
若,则是等比数列;
(2)中项公式法:
若数列中,,则数列是等比数列;
(3)通项公式法:
若数列通项公式可写成,则数列是等比数列;
(4)前n项和公式法:
若数列的前n项和,则数列是等比数列;
(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、填空中的判定;
(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。
〖例〗在数列中,。
(1)证明数列是等比数列;
(2)求数列的前n项和;
(3)证明不等式对任意皆成立。
(1)由题设得。
又所以数列是首项为1,且公比为4的等比数列。
(2)由
(1)可知,于是数列的通项公式为。
所以数列的前n项和。
(3)对任意的,
,所以不等式对任意皆成立。
(二)等比数列的的运算
等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题,数列中有五个量,,,,,显然,“知三求二”,通常列方程(组)求解问题。
解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。
在使用等比数列的前n项和公式时,应根据公比q的情况进行分类讨论,切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。
〖例〗设数列的前n项和为,且=2-2;
数列为等差数列,且。
(1)求数列的通项公式;
(2)若,为数列的前n项和,求证:
。
【放缩法】
(1)由=2-2,得,又=,所以=,由=2-2……………………①
得……………………………………………………②
②-①得,∴,∴是以为首项,以为公比的等比数列,所以=·
(2)∵为等差数列,∴,∴从而
∴………………………………③
∴…………………④
③-④得
=
(三)等比数列性质的应用
★在等比数列中常用的性质主要有:
(1)对于任意的正整数若,则特别地,若;
(2)对于任意正整数有;
(3)若数列是等比数列,则也是等比数列,若是等比数列,则也是等比数列;
(4)数列仍成等比数列;
(5)数列是等比数列(q≠-1);
★(6)等比数列的单调性
等比数列中所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同。
1.(全国卷2理数)(4).如果等差数列中,,那么
(A)14(B)21(C)28(D)35
【考查点】考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】
2.(辽宁理数)(6)设{an}是有正数组成的等比数列,为其前n项和。
已知a2a4=1,,则
(A)(B)(C)(D)
【考查点】等比数列的通项公式与前n项和公式。
【解析】由a2a4=1可得,因此,又因为,联力两式有,所以q=,所以,
3.(辽宁卷)(14)设为等差数列的前项和,若,则15。
解得,
4.(天津卷)(15)设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和。
记设为数列{}的最大项,则=。
【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用,属于中等题。
因为≧8,当且仅当=4,即n=4时取等号,所以当n0=4时Tn有最大值。
5.(上海卷)已知数列的前项和为,且,
(1)证明:
是等比数列;
(2)求数列的通项公式,并求出使得成立的最小正整数.
解析:
(1)当n=1时,a1=-14;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,
又a1-1=-15≠0,所以数列{an-1}是等比数列;
(2)由
(1)知:
,得,从而(n∈N*);
由Sn+1>
Sn,得,,最小正整数n=15.
【其他考点题】
1、设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且,,则下列结论错误的是(C)
A.d<0B.a7=0
C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
由S5<
S6得a1+a2+a3+…+a5<
a1+a2+…+a5+a6,∴a6>
0,又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,由S7>
S8,得a8<
0,而C选项S9>
S5,即a6+a7+a8+a9>
02(a7+a8)>
0,由题设a7=0,a8<
0,显然C选项是错误的。
2、=(C)
(A)2(B)
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