第一讲 不等式的基本性质基础讲解学年八年级数学下册基础讲练北师大版Word格式.docx
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即“不大于”,表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”,表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数,如3<4,-1>-2;
有些不等式中含有未知数,如2x>5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立.
二、不等式的解及解集
1.不等式的解:
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.
2.不等式的解集:
对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集.
不等式的解
是具体的未知数的值,不是一个范围
不等式的解集
是一个集合,是一个范围.
其含义:
①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中
3.不等式的解集的表示方法
(1)用最简的不等式表示:
一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示.如:
不等式x-2≤6的解集为x≤8.
(2)用数轴表示:
不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解.如图所示:
要点诠释:
借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”:
一是确定“边界点”,二是确定方向.
(1)确定“边界点”:
若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈;
(2)确定“方向”:
对边界点a而言,x>a或x≥a向右画;
对边界点a而言,x<a或x≤a向左画.
注意:
在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点.
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1:
不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
用式子表示:
如果a>b,那么a±
c>b±
c.
不等式的基本性质2:
不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
如果a>b,c>0,那么ac>bc(或).
不等式的基本性质3:
不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
如果a>b,c<0,那么ac<bc(或).
不等式的基本性质的掌握注意以下几点:
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会.
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变.
【典型例题】
【类型】一、不等式的概念
例1.给出下列表达式:
①;
②;
③;
④;
⑤;
⑥,其中属于不等式的是______.(填序号)
【答案】②③④⑥
【分析】根据不等式的定义判断即可.
解:
①a(b+c)=ab+ac是等式;
②-2<0是用不等号连接的式子,故是不等式;
③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式;
④2a>b+1是用不等号连接的式子,故是不等式;
⑤x2-2xy+y2是代数式;
⑥2x-3>6是用不等号连接的式子,故是不等式,
故答案为:
②③④⑥.
【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式.
【训练】下列式子:
①-1>2;
②3x≥-1;
③x-3;
④s=vt;
⑤3x-4<2y;
⑥3x-5=2x+2;
⑦a2+2≥0;
⑧a2+b2≠c2.其中是不等式的是___________________.(只填序号)
【答案】①②⑤⑦⑧
【解析】
【分析】根据不等式的定义即可得出结论.
根据不等式的定义:
①-1>2,②3x≥-1,⑤3x-4<2y,⑦a2+2≥0,⑧a2+b2≠c2是不等式;
③x-3,④s=vt,⑥3x-5=2x+2不是不等式.
①②⑤⑦⑧.
【点拨】本题考查了不等式的概念.掌握不等式的概念是解题的基础.
【训练】下列式子属于不等式的是_______________.
①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
【答案】①③④⑤⑦⑧⑨
【分析】根据不等式的概念即可解题.
∵不等式要求用不等号连接
∴排除②⑥
∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨
【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.
【类型】二、不等式的解及解集
例2.(2018·
安徽全国·
七年级单元测试)下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解?
哪些不是?
100,98,51,12,2,0,-1,-3,-5.
【答案】100,98,51,12,2是不等式3x-1≥5的解;
0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解.
试题分析:
把上述各数分别代入不等式的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可.
试题解析:
∵在不等式中,
当时,左边=;
当时,左边=;
∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式的解;
0,-1,-3,-5不是不等式的解.
例3.把下列不等式的解集在数轴上表示出来.
(1)x≥-3;
(2)x>-1;
(3)x≤3;
(4)x<
-.
【答案】
(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可.
(1)将表示在数轴上为:
(2)将表示在数轴上为:
(3)将表示在数轴上为:
(4)将表示在数轴上为:
点拨:
将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点:
(1)“大于(大于或等于)向右,小于(小于或等于)向左”;
(2)“或()时”,数轴上表示数“”的点用“空心圆圈”,“(或)时”,数轴上表示数“”的点用“实心圆点”.
【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x<6的解集和x的下列值:
﹣4,﹣2,0,,7,并利用数轴说明x的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x<6,哪些不满足?
【答案】﹣2,0,满足不等式;
﹣4,7不满足不等式
【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x的下列值:
﹣4,﹣2,0,,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式.
解:
根据图可知:
x的下列值:
﹣2,0,满足不等式;
﹣4,7不满足不等式.
【点拨】
不等式的解集在数轴上表示的方法:
把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;
<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;
“<”,“>”要用空心圆点表示.
【类型】三、不等式的性质
例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成或的形式.
(1).
(2).(3).(4).
(1);
(2);
(3);
(4).
【分析】
(1)利用不等式的性质将两边加上即可求解;
(2)利用不等式的性质先将两边加上,再两边同除以即可求解;
(3)利用不等式的性质先将两边减去,再两边同除以即可求解;
(3)利用不等式的性质将两边同除以-即可求解;
(1),
两边加上得:
,
解得:
;
(2),
,即,
两边除以得:
(3),
两边减去得:
(4),
.
【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质.
【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>
a”或“x<
a”的形式:
(1)5x>
4x+8
(2)x+2<
-1(3)-x>
-1
(4)10-x>
0(5)-x<
-2(6)3x+5<
(1)x>
8;
(2)x<
-3;
(3)x<
10;
(5)x>
(6)x<
-.
【分析】根据不等式的基本性质:
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;
依次分析各小题即可.
(1)根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,
得5x-4x>
4x+8-4x,即x>
(2)根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,
得x+2-2<
-1-2即x<
(3)根据不等式性质3,不等式两边同除以-,不等号的方向改变,
得-x÷
(-)<
-1÷
(-)即x<
(4)根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,
得10-x-10>
0-10即-x>
-10,
再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<
(5)根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,
得-x·
(-5)>
-2×
(-5)即x>
(6)根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变
得3x+5-5<
0-5即3x<
-5,
再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,
得3x÷
3<
-5÷
3即x<
【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以(或除以)同一个负数时,一定要改变不等号的方向!
这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方.
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