根与系数关系例题附答案Word文件下载.docx
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B.
【点睛】
本题主要考查根与系数的关系,若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,则x1+x2=−,x1x2=.
2.一元二次方程的一个根是,则另一个根是()
A.4B.-1C.-3D.-2
【答案】A
设方程的另一个根为m,由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出结论.
设方程的另一个根为m,
则有m×
(-1)=-4,
解得:
m=4.
A.
本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程,牢记两根之积等于是解题的关键.
3.已知是方程的两根,则的值为()
A.B.2C.D.4
是方程的两根,则有,,将原式变形代入求解即可.
∵是方程的两根
∴,
∴
∴
A
本题考查一元二次方程根与系数的关系,以及方程解的定义,根据所对应的代数式进行适当的变形是解题关键.
4.若x1,x2是一元二次方程x2+x﹣1=0的两根,则x12﹣2017x1﹣2018x2的值为( )
A.2020B.2019C.2018D.2017
根据一元二次方程的解的定义可得,根与系数的关系求得,代入求解即可.
x1,x2是一元二次方程x2+x﹣1=0的两根,
,,
.
故选B.
本题考查了一元二次方程的定义,根与系数的关系,掌握以上知识是解题的关键.
5.已知实数a,b满足a≠b,且a2-4a=b2-4b=2,则a2+b2的值为()
A.16B.20C.25D.30
根据题意可得则为的两根,进而根据一元二次方程根与系数的关系以及完全平方公式的变形求值即可.
则为的两根
,
故选B
本题考查了一元二次方程根的定义,一元二次方程根与系数的关系,完全平方公式的变形求值,理解为的两根是解题的关键.
6.等腰三角形三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+k+2=0的两根,则k的值为( )
A.30B.34或30C.36或30D.34
【答案】D
分三种情况讨论,①当a=4时,②当b=4时,③当a=b时;
结合一元二次方程根与系数的关系即可求解;
当时,时,
是关于的一元二次方程的两根,
不符合;
当时,,
当时,
;
故选D.
本题考查一元二次方程根与系数的关系;
根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合一元二次方程根与系数的关系和三角形三边关系进行解题是关键.
7.方程2x2+(k+1)x-6=0的两根和是-2,则k的值是()
A.k=3B.k=-3C.k=0D.k=1
设方程的两根分别为,,则由题意得,解方程即可.
设方程的两根分别为,,
∵方程的两根之和是-2,
∴,
故选A.
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.
8.点在反比例函数上的点图象上,且,是关于的一元二次方程的两根,则点A坐标是()
A.(1,9)B.C.(3,3)D.(-3,-3)
【答案】C
根据点在反比例函数上的点图象上,可得,再利用一元二次方程根与系数的关系,可得,从而得到,然后解出方程,即可求解.
∵点在反比例函数上的点图象上,
∴,
∵,是关于的一元二次方程的两根,
∴方程为,
,
即,
∴点A坐标是.
C
本题主要考查了反比例函数的性质,一元二次方程根与系数的关系,熟练掌握反比例函数的性质,一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
二、填空题
9.设a,b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为____.
【答案】
由于a2+2a+b=(a2+a)+(a+b),故根据方程的解的意义,求得(a2+a)的值,由根与系数的关系得到(a+b)的值,即可求解.
∵a,b是方程x2+x−2021=0的两个实数根,
∴a2+a−2021=0,即a2+a=2021,a+b==−1,
∴a2+2a+b=a2+a+a+b=2021−1=,
故答案为:
本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系,要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形.
10.若方程x2﹣3x+1=0的两根是x1,x2,则x1(1+x2)+x2的值为___.
【答案】4
根据根与系数的关系可得出x1+x2=3、x1x2=1,将其代入x1(1+x2)+x2=(x1+x2)+x1x2中即可求出结论.
∵方程x2﹣3x+1=0的两根是x1,x2,
∴x1+x2=3,x1x2=1,
∴x1(1+x2)+x2=x1+x1x2+x2=(x1+x2)+x1x2=3+1=4.
4.
本题考查了根与系数的关系,牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键.
11.设a,b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,则(a+1)(b+1)的值为_______.
【答案】-2021
首先根据一元二次方程根与系数的关系得出,然后整体代入求解即可.
∵a,b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根,
,
-2021.
本题主要考查代数式求值,掌握一元二次方程根与系数的关系是关键.
12.已知方程3x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2,则x1+x2﹣x1x2的值为_________.
根据一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,再将它们代入x1+x2﹣x1x2,计算即可.
∵方程3x2﹣x﹣1=0的两根分别是x1和x2,
∴x1+x2=,x1x2=,
∴x1+x2﹣x1x2=﹣=.
本题考查了根与系数的关系:
x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1•x2=.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.也考查了一元二次方程的解的定义.
13.设x1,x2是方程2x2+3x﹣4=0的两个实数根,则4x12+4x1﹣2x2的值为______.
【答案】11
先根据一元二次方程根的定义得到2x12=﹣3x1+4,则4x12+4x1﹣2x2化为﹣2(x1+x2)+8,再根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣,然后利用整体代入的方法计算.
∵x1是方程2x2+3x﹣4=0的根,
∴2x12+3x1﹣4=0,
∴2x12=﹣3x1+4,
∴4x12+4x1﹣2x2=2(﹣3x1+4)+4x1﹣2x2=﹣2(x1+x2)+8,
∵x1,x2是方程2x2+3x﹣4=0的两个实数根,
∴x1+x2=﹣,
∴4x12+4x1﹣2x2=﹣2(x1+x2)+8=﹣2×
(﹣)+8=11.
故答案为:
11.
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,则,.
14.设α、β是方程x2+2x﹣2021=0的两根,则α2+3α+β的值为______.
【答案】2019
先根据一元二次方程的解的定义得到α2+2α-2021=0,则α2+2α=2021,于是α2+3α+β可化为2021+α+β,再利用根与系数的关系得到α+β=-2,然后利用整体代入的方法计算求解即可.
根据题意知,α2+2α﹣2021=0,即α2+2α=2021.
又∵α+β=﹣2.
所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2021﹣2=2019.
故答案是:
2019.
此题考查了根与系数的关系:
若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,,也考查了一元二次方程的解.解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解以及根与系数的关系.
三、解答题
15.已知关于的方程的一个根为.
(1)求的值及方程的另一个根;
(2)设方程的两个根为,,求的值.
(1)m=1,2-;
(2)4
(1)设方程的另一个根为a,则由根与系数的关系得:
a+2+=4,(2+)a=m,求出即可.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=4,x1•x2=1,根据积的乘方把原式变形,代入计算即可.
(1)设方程的另一个根为a,
则由根与系数的关系得:
a+2+=4,(2+)a=m,
a=2-,m=1,
即m=1,方程的另一个根为2-;
(2)x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,
则x1+x2=4,x1•x2=1,
∴x12021x22022+x1=(x1x2)2021x2+x1=x2+x1=4.
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用,x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=,反过来也成立.
16.已知关于x的方程有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)是否存在实数m,使方程的两个实数根互为相反数?
如果存在,求出m的值;
如果不存在,说明理由.
(1)m<1;
(2)不存在;
理由见解析.
(1)由题意根的判别式大于0即可求解;
(2)根据互为相反数的两数和等于0得方程,求解并判断即可.
(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根,
∴Δ=(m-2)2->0
即:
4-4m>0
m<1
(2)由题意,x1+x2==4m-8,
若方程两实数根互为相反数,则4m-8=0,
解得,m=2,
因为m<1,
所以m=2时,原方程没有实数根,
所以不存在实数,使方程两实数根互为相反数.
本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系.
(2)易错,只关注求m的值而忽略m的范围.
17.定义:
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为(),分别以为横坐标和纵坐标得到点M(),则称点M为该一元二次方程的奇特点.
(1)若方程为x2=3x,写出该一元二次方程的奇特点M的坐标;
(2)若关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+2m=0(m<0)的奇特点为M,过点M向x轴和y轴作垂线,两垂线与坐标轴恰好围成一个正方形,求m的值;
(3)是否存在b,c,使得不论k(k≠0)为何值,关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的奇特点M始终在直线y=3kx﹣2(k﹣2)上,若存在请算出b,c的值,若不存在请说明理由.
【
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