最新《抛物线》典型例题12例含标准答案Word格式文档下载.docx
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典型例题二
例2若直线与抛物线交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程.
由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解.另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法”求k.
解法一:
设、,则由:
可得:
∵直线与抛物线相交,且,则.
∵AB中点横坐标为:
解得:
或(舍去).
故所求直线方程为:
解法二:
设、,则有.
两式作差解:
,即.
故或(舍去).
则所求直线方程为:
典型例题三
例3求证:
以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切.
可设抛物线方程为.如图所示,只须证明,则以AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.
证明:
作于于.M为AB中点,作于,则由抛物线的定义可知:
在直角梯形中:
,故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
说明:
类似有:
以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离,以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交.
典型例题四
例4
(1)设抛物线被直线截得的弦长为,求k值.
(2)以
(1)中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标.
(1)题可利用弦长公式求k,
(2)题可利用面积求高,再用点到直线距离求P点坐标.
(1)由得:
设直线与抛物线交于与两点.则有:
,即
(2),底边长为,∴三角形高
∵点P在x轴上,∴设P点坐标是
则点P到直线的距离就等于h,即
或,即所求P点坐标是(-1,0)或(5,0).
典型例题五
例5已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过A且垂直于l的直线,设N为l上任一点,AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证P的轨迹为抛物线.
要证P的轨迹为抛物线,有两个途径,一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义,二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程,可先用第一种方法,由A为定点,l为定直线,为我们提供了利用定义的信息,若能证明且即可.
如图所示,连结PA、PN、NB.
由已知条件可知:
PB垂直平分NA,且B关于AN的对称点为P.
∴AN也垂直平分PB.则四边形PABN为菱形.即有.
则P点符合抛物线上点的条件:
到定点A的距离与到定直线的距离相等,所以P点的轨迹为抛物线.
典型例题六
例6若线段为抛物线的一条焦点弦,F为C的焦点,求证:
此题证的是距离问题,如果把它们用两点间的距离表示出来,其计算量是很大的.我们可以用抛物线的定义,巧妙运用韦达定理,也可以用抛物线的定义与平面几何知识,把结论证明出来.
证法一:
,若过F的直线即线段所在直线斜率不存在时,
则有,.
若线段所在直线斜率存在时,设为k,则此直线为:
,且设.
由得:
①
②
根据抛物线定义有:
则
请将①②代入并化简得:
证法二:
如图所示,设、、F点在C的准线l上的射影分别是、、,且不妨设,又设点在、上的射影分别是A、B点,由抛物线定义知,
又∽,
即
故原命题成立.
典型例题七
例7设抛物线方程为,过焦点F的弦AB的倾斜角为,求证:
焦点弦长为.
此题做法跟上题类似,也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题.
抛物线的焦点为,
过焦点的弦AB所在的直线方程为:
由方程组消去y得:
设,则
又
如图所示,分别作、垂直于准线l.由抛物线定义有:
于是可得出:
典型例题八
例8已知圆锥曲线C经过定点,它的一个焦点为F(1,0),对应于该焦点的准线为,过焦点F任意作曲线C的弦AB,若弦AB的长度不超过8,且直线AB与椭圆相交于不同的两点,求
(1)AB的倾斜角的取值范围.
(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点,求CD中点M的轨迹方程.
由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线,AB为抛物线的焦点弦,设其斜率为k,弦AB与椭圆相交于不同的两点,可求出k的取值范围,从而可得的取值范围,求CD中点M的轨迹方程时,可设出M的坐标,利用韦达定理化简即可.
(1)由已知得.故P到的距离,从而
∴曲线C是抛物线,其方程为.
设直线AB的斜率为k,若k不存在,则直线AB与无交点.
∴k存在.设AB的方程为
由可得:
设A、B坐标分别为、,则:
∵弦AB的长度不超过8,即
∵AB与椭圆相交于不同的两点,
由和可得:
或
故或
又,∴所求的取值范围是:
(2)设CD中点、、
则即.
化简得:
∴所求轨迹方程为:
典型例题九
例9 定长为3的线段的端点、在抛物线上移动,求的中点到轴的距离的最小值,并求出此时中点的坐标.
线段中点到轴距离的最小值,就是其横坐标的最小值.这是中点坐标问题,因此只要研究、两点的横坐标之和取什么最小值即可.
如图,设是的焦点,、两点到准线的垂线分别是、,又到准线的垂线为,、和是垂足,则
设点的横坐标为,纵坐标为,,则.
等式成立的条件是过点.
当时,,故
,.
所以,此时到轴的距离的最小值为.
本题从分析图形性质出发,把三角形的性质应用到解析几何中,解法较简.
典型例题十
例10 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,交抛物线于、两点,求的最小值.
本题可分和两种情况讨论.当时,先写出的表达式,再求范围.
(1)若,此时.
(2)若,因有两交点,所以.
代入抛物线方程,有.
故,
故.
所以.因,所以这里不能取“=”.
综合
(1)
(2),当时,.
(1)此题须对分和两种情况进行讨论;
(2)从解题过程可知,抛物线点弦长公式为;
(3)当时,叫做抛物线的通径.通径是最短的焦点弦.
典型例题十一
例11 过抛物线的焦点作弦,为准线,过、作的垂线,垂足分别为、,则①为( ),②为( ).
A.大于等于 B.小于等于 C.等于 D不确定
本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识,关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切.
①点在抛物线上,由抛物线定义,则,
又轴.
∴,同理,
而,∴,
∴.选C.
②过中点作,垂中为,
则.
夏日的街头,吊带装、露背装、一步裙、迷你裙五彩缤纷、争妍斗艳。
爱美的女孩们不仅在服饰搭配上费尽心机,饰品的选择也十分讲究。
可惜在商店里买的项链、手链、手机挂坠等往往样式平淡无奇,还容易出现雷同现象。
∴以为直径的圆与直线相切,切点为.
又在圆的外部,∴.
特别地,当轴时,与重合,.
图1-2大学生购买手工艺品可接受价位分布即,选B.
3、竞争对手分析典型例题十二
(2)文化优势例12 已知点,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为__________.
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本题若建立目标函数来求的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结合图形则问题不难解决.
(1)政策优势解:
如图,
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其市场现状特点具体表现为:
根本不知道□由定义知,故.
取等号时,、、三点共线,∴点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,
我们熟练的掌握计算机应用,我们可以在网上搜索一些流行因素,还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖,为我们小店提供了多种经营方式。
所以点坐标为.
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- 抛物线 最新 典型 例题 12 标准答案