第讲自主招生数学试题中的解析几何.doc
- 文档编号:139665
- 上传时间:2022-10-04
- 格式:DOC
- 页数:56
- 大小:4.36MB
第讲自主招生数学试题中的解析几何.doc
《第讲自主招生数学试题中的解析几何.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第讲自主招生数学试题中的解析几何.doc(56页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第十一讲:
解析几何1
第十一讲:
解析几何
杨老师专论
(电话号码:
2078159;手机号码:
13965261699)
解析几何是中学数学的主干内容,在高考、自主招生和数学竞赛中均占有重要位置.解析几何是高考决胜的至高点,是自主招生和数学竞赛的必争之地.高考、自主招生和数学竞赛中的解析几何问题的难度、所涉及的知识和方法,大体相当.
Ⅰ.知识拓展
1.基础结论:
①点P(a,b)在曲线C:
f(x,y)=0上f(a,b)=0;②若不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标满足,则直线AB的方程为:
ax+by+c=0.
2.曲线系:
在一个关于x,y的二元方程中,如果它含有一个不定的常数,给这个常数一些不同的值,可以得到一系列具有某种共同性质的曲线(包括直线),它们的全体组成的集合叫做具有某种共同性质曲线系.
①过曲线C1:
f1(x,y)=0与C2:
f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:
f1(x,y)+λf2(x,y)=0;②过二次曲线C:
ax2+cy2+dx+ey+
f=0与直线mx+ny+p=0交点的圆系方程为:
(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,这里λ=,t为任意实数.
3.中点弦方程:
若点P(x0,y0)在曲线G:
ax2+cy2+dx+ey+f=0内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:
ax0x++cy0y
+d+e+f=ax02+cy02+dx0+ey0+f.
推论:
1.若点P(x0,y0)在椭圆G:
=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:
=;
2.若点P(x0,y0)在双曲线G:
=1内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:
=;
3.若点P(x0,y0)在抛物线G:
y2=2px内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:
y0y-p(x+x0)=y02-2px0;若点P(x0,y0)在抛物线G:
x2=2py内,则以点P为中点的弦所在的直线方程为:
x0x-p(y+y0)=x02-2py0.
4.切线方程:
若点P(x0,y0)在曲线G:
ax2+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:
ax0x+cy0y+d
+e+f=0.
推论:
1.若点P(x0,y0)在圆G:
(x-a)2+(y-b)2=R2上,则圆G在点P处的切线方程为:
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=R2;
2.若点P(x0,y0)在椭圆G:
=1上,则椭圆G在点P处的切线方程为:
=1;
3.若点P(x0,y0)在双曲线G:
=1上,则双曲线G在点P处的切线方程为:
=1;
4.若点P(x0,y0)在抛物线G:
y2=2px上,则抛物线G在点P处的切线方程为:
y0y=p(x+x0);若点P(x0,y0)在抛物线G:
x2=2py上,则抛物线G在点P处的切线方程为:
x0x=p(y+y0).
5.切点弦方程:
从点P(x0,y0)引曲线G:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:
ax0x+b+cy0y+d+e+f=0.
推论:
1.从点P(x0,y0)引椭圆G:
=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:
=1;
2.从点P(x0,y0)引双曲线G:
=1的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:
=1;
2第十一讲:
解析几何
3.从点P(x0,y0)引抛物线G:
x2=4py的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:
x0x=2p(y+y0);从点P(x0,y0)引抛物线G:
y2=2px的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:
y0y=2(x+x0).
6.切线交点的轨迹:
过定点Q(x0,y0)(x02+y02≠0)的直线与二次曲线G:
ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于M、N,曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:
ax0x+b+cy0y+d+e+f=0.
推论:
1.过Q(x0,y0)的直线与椭圆G:
=1相交于M、N,椭圆G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:
=1;
2.过点Q(x0,y0)的直线与双曲线G:
=1相交于M、N,双曲线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:
=1;
3.过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:
x2=4py相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:
x0x=2p(y+y0);过点Q(x0,y0)的直线与抛物线G:
y2=2px相交于M、N,抛物线G分别在点M、N处的两条切线相交于点P,则点P的轨迹方程为:
y0y=2(x+x0).
Ⅱ.归类分析
1.直线与圆:
[例1]:
(2010年同济大学保送生考试数学试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:
ax+by=0的距离为2,则直线l的斜率的取值范围是.
注:
本题引用(2006年湖南高考试题)若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线l:
ax+by=0的距离为2,则直线l的倾斜角θ的取值范围是()
(A)[,](B)[,](C)[,](D)[0,]
同类的高考试题有:
①(1991年全国高考试题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
②(2010年江苏高考试题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.
[解析]:
[练习1]:
1.①(2009年华南理工大学保送生考试试题)已知圆O:
x2+y2=r2,点P(a,b)(ab≠0)是圆O内一点,过点P的圆O的最短的弦在直线l1上,直线l2的方程为bx-ay=r2,那么()
(A)l1∥l2,且l2与圆O相交(B)l1⊥l2,且l2与圆O相切(C)l1∥l2,且l2与圆O相离(D)l1⊥l2,且l2与圆O相离
②(2007年武汉大学保送生考试试题)如果直线ax-by+1=0(a、b∈R)平分圆C:
x2+y2+2x-4y+1=0的周长,那么ab的取值范围是()
(A)(-∞,](B)(-∞,](C)(0,](D)(0,]
③(2008年武汉大学保送生考试试题)直线l:
y=2x+m和圆C:
x2+y2=1相交于A、B两点,且∠AOB=1200,O为坐标原点,则常数m=()
(A)(B)(C)(D)
④(2007年武汉大学保送生考试试题)如果直线x=my-1与圆C:
x2+y2+mx+ny+p=0相交,且两个交点关于直线y=x对称,那
第十一讲:
解析几何3
么实数p的取值范围是.
⑤(2010年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知圆C1:
(x+3)2+y2=4,C2:
x2+(y-5)2=4,过平面内的点P有无数多对互相垂直的直线l1、l2,它们分别与圆C1、圆C2相交,且被圆C1、圆C2截得的弦长相等,则P点坐标为.
2.①(2010年“北约”自主招生试题)已知点A(-2,0),B(0,2),若点C是圆x2-2x+y2=0上的动点,求△ABC面积的最小值.
②(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)在圆C:
(x-1)2+y2=2上有两个动点A和B,且满足条件∠AOB=900(O为坐标原点).求以OA、OB为邻边的矩形OAPB的顶点P的轨迹方程.
③(2012年全国高中数学联赛陕西预赛试题)在平面直角坐标系中,以点C(t,)为圆心的圆经过坐标原点O,,且分别与x轴,y轴分别交于点A、B(不同于原点O).
(Ⅰ)求证:
△AOB的面积S为定值;
(Ⅱ)设直线l:
y=-2x+4与圆C相交于不同的两点M、N,且|OM|=|ON|,求圆C的标准方程.
④(2011年全国高中数学联赛河北预赛试题)已知O为坐标原点,B(4,0),C(5,0),过C作x轴的垂线,M是这垂线上的动点,以O为圆心,OB为半径作圆,MT1,MT2是圆的切线,
则△MT1T2垂心的轨迹方程是.
⑤(2012年全国高中数学联赛试题(A卷))如图,yB
在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的边长
为4,且|OB|=|OD|=6.HC
(Ⅰ)求证:
|OA||OC|为定值;A
(Ⅱ)当点A在半圆M:
(x-2)2+y2=4(2≤x≤4)上OMx
运动时,求点C的轨迹.D
2.基本问题:
[例2]:
(2012年“卓越联盟”自主招生数学试题)抛物线y2=2px(p>0),F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D(a,0),a>0,m=||+||.
(Ⅰ)证明:
a是p、m的等差中项;
(Ⅱ)若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线l的方程.
[解析]:
[练习2]:
1.①(2001年复旦大学保送生考试试题)抛物线y2=-4(x-1)的准线方程为()
(A)x=1(B)x=2(C)x=3(D)x=4
②(2011年复旦大学保送生考试试题)设直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m、b为实数,t为参数)和+y2=1(a
是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a、b应满足()
(A)a2(1-b2)≥1(B)a2(1-b2)>1(C)a2(1-b2)<1(D)a2(1-b2)≤1
③(2006年武汉大学保送生考试试题)椭圆+=1(a>b>0)的半焦距为c,直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标为c,则该椭圆的离心率为.
④(2012年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在平面直角坐标系
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 自主 招生 数学试题 中的 解析几何