南京大学《高等代数》期末考试题及答案汇编Word文档下载推荐.docx
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南京大学《高等代数》期末考试题及答案汇编Word文档下载推荐.docx
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二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1、()复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个
线性空间同构:
(A)数域P上所有二级对角矩阵作成的线性空间;
(B)数域P上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
(C)数域P上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
(D)复数域C作为复数域C上的线性空间。
2、()设是非零线性空间V的线性变换,则下列命题正确的是:
(A)的核是零子空间的充要条件是是满射;
(B)的核是V的充要条件是是满射;
(C)的值域是零子空间的充要条件是是满射;
(D)的值域是V的充要条件是是满射。
3、()矩阵可逆的充要条件是:
是一个非零常数;
是满秩的;
是方阵。
4、()设实二次型(A为对称阵)经正交变换后化为:
,则其中的是:
全是正数;
是A的所有特征值;
不确定。
5、()设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”,则A的若当
标准形是:
以上各情形皆有可能。
三、是非题(每小题2分,共10分)
(请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“”)
1、()设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
则。
2、()n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
的矩阵是一对角矩阵。
3、()同阶方阵A与B相似的充要条件是与
等价。
4、()n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、()欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、解答题(每小题10分,共30分)
1、在线性空间中,定义线性变换:
(1)求该线性变换在自然基:
下的矩阵A;
(2)求矩阵A的所有特征值和特征向量。
2、
(1)求线性空间中从基到基
的过渡矩阵;
(2)求线性空间中向量在基
下的坐标。
3、在R2中,,规定二元函数:
(1)证明:
这是R2的一个内积。
(2)求R2的一个标准正交基。
五、证明题(每小题10分,共30分)
1、设P3的两个子空间分别为:
证明:
(1);
(2)不是直和。
2、设是数域P上线性空间V的线性变换,证明
是的不变子空间的兖要条件是
3、已知是n级正定矩阵,证明:
(1)A是正定矩阵;
(2)
参考答案
则A与B的关系是相似关系
2、(A)复数域C作为实数域R上的线性空间可与下列哪一个
2、(D)设是非零线性空间V的线性变换,则下列命题正确的是:
3、(B)矩阵可逆的充要条件是:
4、(C)设实二次型(A为对称阵)经正交变换后化为:
5、(A)设3阶实对称矩阵A有三重特征根“”,则A的若当
1、(×
)设V1,V2均是n维线性空间V的子空间,且
2、(√)n维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
3、(√)同阶方阵A与B相似的充要条件是与
4、(×
)n维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、(√)欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
解:
(1)线性变换在自然基下的矩阵是(5分)
(2)因为
所以矩阵A的所有特征值是
解齐次线性方程组
得矩阵A的所有特征向量:
,其中不全为零。
(5分)
(1)因为
所以
即所求的过渡矩阵为(5分)
(2)因为
故
所以在基下的坐标是:
(3)证明:
(4)求R2的一个标准正交基。
(1)证明:
因为是正定矩阵,
所以这个二元函数是R2的一个内积。
(2)解:
考察自然基
它的度量矩阵正是
令:
再令:
则是R2的一个标准正交基。
(2)解法二:
令:
即:
则的度量矩阵是E,从而是R2的一个标准正交基。
2、设P3的两个子空间分别为:
证明:
(1)W1的一个基是:
W2的一个基是:
因为
其中是的生成元的一个极大无关组
从而是的一个基,
所以(5分)
(2)因
即
所以不是直和。
(2)之证法二:
1、作者:
蒋志华《市场调查与预测》,中国统计出版社2002年8月§
11-2市场调查分析书面报告2、设是数域P上线性空间V的线性变换,证明
(充分性)设有
但这些困难并非能够否定我们创业项目的可行性。
盖茨是由一个普通退学学生变成了世界首富,李嘉诚是由一个穷人变成了华人富豪第一人,他们的成功表述一个简单的道理:
如果你有能力,你可以从身无分文变成超级富豪;
如果你无能,你也可以从超级富豪变成穷光蛋。
10元以下□10~50元□50~100元□100元以上□
是的不变子空间。
(5分)
(必要性)设是的不变子空间,
在调查中我们注意到大多数同学都比较注重工艺品的价格,点面氛围及服务。
由(5分)
加拿大beadworks公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求,将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内,由消费者自选、自组、自制,这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上,创作出作品,达到展现个性的效果3、已知是n级正定矩阵,证明:
7、你喜欢哪一类型的DIY手工艺制品?
(1)设A的特征值为
可是创业不是一朝一夕的事,在创业过程中会遇到很多令人难以想象的疑难杂症,对我们这些80年代出生的温室小花朵来说,更是难上加难。
故其特征值
我们熟练的掌握计算机应用,我们可以在网上搜索一些流行因素,还可以把自己小店里的商品拿到网上去卖,为我们小店提供了多种经营方式。
于是A的特征值
3、竞争对手分析所以A是正定矩阵。
(2)因为A的特征值
所以A+2E的特征值
4.WWW。
google。
com。
cn。
大学生政策2004年3月23日
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