弹性力学试题及答案Word文件下载.docx

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12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。

分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。

14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。

其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。

15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：

一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。

16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：

一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；

另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。

17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。

18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。

19、在有限单元法中，单元的形函数在i结点1；

在其他结点0及∑1。

20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用两种方法：

一是将单元的尺寸减小，以便较好地反映位移和应力变化情况；

二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。

二、判断题（请在正确命题后的括号内打“√”，在错误命题后的括号内打“×

”）

1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。

（√）

5、如果某一问题中，，只存在平面应力分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应力问题。

6、如果某一问题中，，只存在平面应变分量，，，且它们不沿z方向变化，仅为x，y的函数，此问题是平面应变问题。

9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。

14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。

15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。

（√）

三、分析计算题

1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。

（1），，；

（2），，；

其中，A，B，C，D，E，F为常数。

解：

应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：

（1）在区域内的平衡微分方程；

（2）在区域内的相容方程；

（3）在边界上的应力边界条件；

（4）对于多连体的位移单值条件。

（1）此组应力分量满足相容方程。

为了满足平衡微分方程，必须，。

此外还应满足应力边界条件。

（2）为了满足相容方程，其系数必须满足0；

为了满足平衡微分方程，其系数必须满足2。

上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。

2、已知应力分量，，，体力不计，Q为常数。

试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。

将所给应力分量代入平衡微分方程

得

即

由x，y的任意性，得

由此解得，，，

3、已知应力分量，，，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。

将已知应力分量，，，代入平衡微分方程

可知，已知应力分量，，一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。

按应力求解平面应力问题的相容方程：

将已知应力分量，，代入上式，可知满足相容方程。

按应力求解平面应变问题的相容方程：

4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。

（3），，；

其中，A，B，C，D为常数。

应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：

（1）相容。

（2）（1分）；

这组应力分量若存在，则须满足：

0，2。

（3）0；

0，则，，（1分）。

5、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

将应力函数代入相容方程

可知，所给应力函数能满足相容方程。

由于不计体力，对应的应力分量为

，，

对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：

上边，，，，，；

下边，，，，，；

左边，，，，，；

右边，，，，，。

可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。

因此，应力函数能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>

0）和均布压力（b<

0）的问题。

6、证明应力函数能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，）。

可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。

因此，应力函数能解决矩形板受均布剪力的问题。

7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。

解：

根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设。

由此可知

将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式

将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得

这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即

，

这两个方程要求

代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得

对应应力分量为

以上常数可以根据边界条件确定。

左边，，，，沿y方向无面力，所以有

右边，，，，沿y方向的面力为q，所以有

上边，，，，没有水平面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将的表达式代入，并考虑到0，则有

而自然满足。

又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即

将的表达式代入，则有

由此可得

，，，，

应力分量为

,

虽然上述结果并不严格满足上端面处（0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离0处这一结果应是适用的。

8、证明：

如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为，，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，，，，试导出相应的相容方程。

证明：

在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量，，应当满足平衡微分方程

（1分）

还应满足相容方程

（对于平面应力问题）

（对于平面应变问题）

并在边界上满足应力边界条件（1分）。

对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。

首先考察平衡微分方程。

将其改写为

这是一个齐次微分方程组。

为了求得通解，将其中第一个方程改写为

根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得

，

同样，将第二个方程改写为

可见也一定存在某一函数B（x，y），使得

由此得

因而又一定存在某一函数，使得

代入以上各式，得应力分量

为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得

简写为

将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得

9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。

纯三次的应力函数为

相应的应力分量表达式为

这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。

现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。

上边，，，，没有水平面力，所以有

对上端面的任意x值都应成立，可见

同时，该边界上没有竖直面力，所以有

因此，应力分量可以简化为

斜面，，，，没有面力，所以有

由第一个方程，得

对斜面的任意x值都应成立，这就要求

由第二个方程，得

由此解得

（1分），

从而应力分量为

,

设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则。

根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为。

因此，所求在这部分边界上合成的主矢应为零，应当合成为反力。

可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。

10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为，液体的密度为，试求应力分量。

采用半逆解法。

首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。

取坐标轴如图所示。

在楔形体的任意一点，每一个应力分量都将由两部分组成：

一部分由重力引起，应当与成正比（g是重力加速度）；

另一部分由液体压力引起，应当与成正比。

此外，每一部分还与，x，y有关。

由于应力的量纲是12，和的量纲是22，是量纲一的

量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是，，，四项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与有关。

这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。

其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设

左面，，，，作用有水平面力，所以有

对左面的任意y值都应成立，可见

对斜面的任意y值都应成立，这就要求