河北省衡水届高三第二次摸底考试数学试题理含答案Word下载.docx
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A.B.C.D.
4.已知命题;
命题,则下列命题中为真命题的是()
A.B.C.D.
5.《九章算术》中有如下问题:
“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆,径几何?
”其大意:
“已知直角三角形两直角边长分别为步和步,问其内切圆的直径为多少步?
”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是()
A.B.C.D.
6.若实数满足条件,则的最大值为()
A.B.C.D.
7.已知,则二项式的展开式中的常数项为()
A.B.C.D.
8.已知奇函数的导函数的部分图象如图所示,是最高点,且是边长为的正三角形,那么()
A.B.C.D.
9.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
A.B.
C.D.
10.执行如图所示的程序框图,输出的值等于()
A.B.
11.椭圆的左焦点为,上顶点为,右顶点为,若的外接圆圆心在直线的左下方,则该椭圆离心率的取值范围为()
A.B.C.D.
12.已知是函数的导函数,且对任意的实数都有是自然对数的底数),,若不等式的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知,若,则.
14.在中,分别为角的对边,,若,则.
15.已知点分别是双曲线的左、右焦点,为坐标原点,点在双曲线的右支上,且满足,则双曲线的焦点的取值范围为.
16.点为正方体的内切球球面上的动点,点为上一点,,若球的体积为,则动点的轨迹的长度为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)设以为公比的等比数列满足),求数列的前项和.
18.如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于表示空气质量优良,空气质量指数大于表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.
(1)若该人到达后停留天(到达当日算1天),求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率;
(2)若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉,设是此人停留期间空气重度污染的天数,求的分布列与数学期望.
19.如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形,,且与均为正三角形,为的重心.
(1)求证:
平面;
(2)求平面与平面所成锐二面角的正切值.
20.已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点,过点的直线交于另一点,交轴的正半轴于点.
(1)若,当点的横坐标为时,为等腰直角三角形,求的方程;
(2)对于
(1)中求出的抛物线,若点,记点关于轴的对称点为交轴于点,且,求证:
点的坐标为,并求点到直线的距离的取值范围.
21.设函数).
(1)若直线和函数的图象相切,求的值;
(2)当时,若存在正实数,使对任意都有恒成立,求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中中,曲线的参数方程为为参数,).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方,求的取值范围.
23.选修4-5:
不等式选讲
已知定义在上的函数,且恒成立.
(1)求实数的值;
(2)若,求证:
.
河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试数学
(理)试题参考答案
一、选择题
1-5:
DCBAD6-10:
ABDBA11-12:
AC
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.解:
(1)由题知数列是以为首项,为公差的等差数列,.
(2)设等比数列的首项为,则,依题有,即,解得,故,.
18.解:
设表示事件“此人于3月日到达该市”.依题意知,,且.
(1)设为事件“此人停留天空气质量都是重度污染”,则,所以,即此人停留天空气质量都是重度污染的概率为.
(2)由题意可知,的所有可能取值为,且,,,
,
(或),
所以的分布列为
故的期望.
19.解:
(1)连接并延长交于,连接.由梯形且,知,又为的重心,,故.又平面平面平面.
(2)平面平面与均为正三角形,延长交的中点,连接平面,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系,,
,设,可得,设平面的一个法向量为,由,令,得,同理可得平面的一个法向量,所以平面与平面所成锐二面角的正切值为.
20.解:
(1)由题知,则的中点坐标为,则,解得,故的方程为.
(2)依题可设直线的方程为,则,由消去,得,,设的坐标为,则,由题知,所以,即,显然,所以,即证,由题知为等腰直角三角形,所以,即,也即,所以,即,又因为,所以,令,易知在上是减函数,所以.
21.解:
(1)设切点的坐标为,由得,所以切线方程为,即,由已知和为同一条直线,,令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,.当且仅当时等号成立,.(注明:
若由函数与相交于点,直线和函数的图象相切于,得出,得3分)
(2)①当时,由
(1)结合函数的图象知,存在,使得对于任意的,都有,则不等式等价于,即,设,令得,令得.若在上单调递减,注意到,所以对任意的,都有,与题设不符.若在上单调递增,,所以对任意的,都有,符合题设.此时取,可得对任意,都有.
②当时,由
(1)结合函数的图象知
,对任意都成立,等价于.设,则,由,得得在上单调递减,注意到,所以对任意的,都有,不符合题设.综上所述,的取值范围为.
22.解:
(1)由,得,化成直角坐标方程,得,即直线的方程为,依题意,设,则到直线的距离,当,即时,,故点到直线的距离的最大值为.
(2)因为曲线上的所有点均在直线的右下方,,恒成立,即(其中)恒成立,,又,解得,故取值范围为.
23.解:
(1),要使恒成立,则,解得.又,.
(2),即,当且仅当,即时取等号,故.
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