平面向量知识点总结精华Word格式文档下载.docx
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(因为有0);
4三点A、B、c共线AB、AC共线.
6.相反向量:
长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量
记作a.
举例2如下列命题:
(1)若|a|ibbl,则ab.
⑵两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同
⑶若ABDC,则ABCD是平行四边形.
(4)若ABCD是平行四边形,则ABDC.
(5)若ab,bc,则ac.
b//C则a//C.其中正确的是.结果:
(4)(5)
、向量的表示方法
1.几何表示:
用带箭头的有向线段表示,如AB,注意起点在前,终点在后;
2.符号表示:
用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等;
3.坐标表示:
在平面内建立直角坐标系,以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量r,j为基底,则平面内的任一向量a可表示为axiyj「(x,y),称(x,y)为向量a的坐标,a(x,y)叫做向量a的坐标表示.
结论:
如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理设ei,Gb同一平面内的一组基底向量,a是该平面内任一向量,则存在唯一实数对(1,2),使a2e2.
(1)定理核心:
a爲慮;
(2)从左向右看,是对向量a的分解,且表达式唯一;
反之,是对向量a的合成.
(3)向量的正交分解:
当《育时,就说a恵也为对向量a的正交分解.
举例3
(1)若a(1,1),£
(i,i),c(1,2),则c结果:
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是B
A.e(0,0),&
(1,2)B.e(1,2),&
(5,7)C.e(3,5),&
(6,10)
(3)已知AD,BE分别是△ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,
则皑可用向量a,b表示为.结果:
2a
33
uiurluuruurluutuur
(4)已知△ABC中,点D在BC边上,且CD2DB,CDrABsAC,贝rs
的值是.结果:
0.
四、实数与向量的积
实数与向量a的积是一个向量,记作a,它的长度和方向规定如
下:
(1)模:
iai||⑸;
(2)方向:
当0时,a的方向与a的方向相同,当0时,a的
方向与a的方向相反,当0时,a0,
注意:
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角:
对于非零向量a,b,作OAa,OBb,则把AOB(0)称为向量a,b的夹角.
当0时,a,b同向;
当时,a,b反向;
当—时,a,b垂
直.
我们把数量|ar||b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积),记作:
ab,
ra
rb
n—
零向量与任一向量的数量积是0.
数量积是一个实数,不再是一个向量.
举例4
(1)△ABC中,|AB|3,|AC|4,|BC|5,则ABBC
结果:
9.
(2)已知a1,1,bo,1,cakb,dab,c
与d的夹角为壬,则
k
.结果:
1.
(3)已知|a|2,|b|5,ab3,则〔ab|.
卫.
(4)已知a,b是两个非零向量,且laiibiiabl,则a与ab的夹角为
30。
.
3.向量b在向量a上的投影:
|b|cos,它是一个实数,但不一定大于
举例5已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为
4.ab的几何意义:
数量积ab等于a的模ia|与b在a上的投影的积.
5.向量数量积的性质:
设两个非零向量a,b,其夹角为,贝u:
(1)ababo;
(2)当a、bb同向时,ab|舌||b|,特别地,a2aa|訂|si|■.<
a2;
ab|a||b|是a、b同向的充要分条件;
当a、b反向时,ab|S||b|,ab|首||b|是a、b反向的充要分
不充分条件.
举例6
(1)已知a(,2)(3,2),如果a与b的夹角为锐角,贝U的
取值范围是.结果:
4或0且1;
33'
(2)已知△OFQ的面积为S,且OF1,若1S2.,则OF,皑夹角
的取值范围是.结果:
-,-;
43
(3)已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),且满足|kab|.3|必kb|(其中k0).
①用k表示ab;
②求ab的最小值,并求此时a与b的夹角的大小.结果:
①ab兽代0);
②最小值为1,60。
六、向量的运算
1.几何运算
(1)向量加法
运算法则:
①平行四边形法则;
②三角形法则.
运算形式:
若ABa,Beb,则向量AC叫做a与b的和,即
作图:
略.
平行四边形法则只适用于不共线的向量
(2)向量的减法
三角形法则
若ABa,ACb,则abABACCA,即由减向量的
终点指向被减向量的终点.
减向量与被减向量的起点相同
举例7
(1)化简:
①ABBCCD:
②ABASDCu:
③
luuruurunruurumruurr
(ABCD)(ACBD).结果:
①AD;
②CB二③0;
(2)若正方形abcd的边长为1,ABa,BC6,ACc,则〔abC|.
22;
(3)若O是SBC所在平面内一点,且满足OBOC||OBOC2oA,则△ABC
的形状为.结果:
直角三角形;
(4)若D为厶ABC的边BC的中点,△ABC所在平面内有一点P,满足
uur
PABpCp0,设霸,则的值为.一结果:
2;
(5)若点O是△ABC的外心,且OAOBCO0,则△ABC的内角C为.
120。
举例8
(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若APABAC(R),则当
时,点P在第一、三象限的角平分线上•结果:
1;
2
(2)已知A(2,3),B(1,4),且IaB(sinx,cosy),x,y(-^-),贝xy.
6或-;
62'
(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F(3,4),F:
(2,5),F(3,1),则合力
F3F1F2uu的终点坐标是_—结果:
(9,1).
(2)实数与向量的积:
舌(X1,yj(&
y)
(3)若A(x1,y1),Bgy),则AB区x』yj,即一个向量的坐标
等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标
举例9设A(2,3),B(1,5),且AC3AB,AD3AB,则c,d的坐标分别是
3
举例10已知向量a(sinx,cosx),b(sinx,sinx),c(1,0).
(1)若x-,求向量a、c的夹角;
⑵若x[善叩,函数f(x)a:
的最大值为:
,求的值.结果:
(1)
150。
;
(2)1或21.
(5)向量的模:
<
a2|<
a|2x2y2|<
a|.x2y2.
举例11已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60。
,那么iaab|
(6)两点间的距离:
若&
为,%),B(X2,y2),则|AB|(X2xj2厲yj2.
举例12如图,在平面斜坐标系xOy中,xOy60。
,平面上任一点P关于斜坐标系‘I
的斜坐标是这样定义的:
若OPxeye2,其中霏2分别为与x轴、y轴同
方向的单
位向量,则P点斜坐标为(x,y).
(1)若点P的斜坐标为(2,2),求P到O的距离|PO|;
(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.
(1)2;
(2)x2y2xy10.
七、向量的运算律
举例13给出下列命题:
①a(bC)abac:
②a(bC)<
ab)c;
@
ab)2併2|a〔ibiibf;
④若abo,则a0或b0;
⑤若abcb则ac;
⑥洁甘;
®
孝br;
⑧(ab)2a2b2:
⑨(ab)2a22abb2.
其中正确的是__一结果:
①⑥⑨.
说明:
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:
对于一个
向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即a(bc)(ab)c,为什么?
八、向量平行(共线)的充要条件
rr
ro
ra
r12
(|a||b|)xy%X20.
举例14
(1)若向量a(x,1),b(4,x),当x时,a与b共线且方向
相同.结果:
2.
(2)已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且u〃v,则x
4.
(3)设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),则k时,A,B,C共线.结
果:
2或11.
九、向量垂直的充要条件
uuuuuu特别地-ABUACF
|AB||AC|
uuuuuruuuuur
结果:
举例15⑴已知OA(1,2),OB(3,m),右OAOB,则m
(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则
点b的坐标是.结果:
(1,3)或(3,—1));
(3)已知n(a,b)向量nm,且lnllml,则m的坐标是.结果:
(b,a)
或(b,a).
十、线段的定比分点
1.定义:
设点P是直线PP2上异于P、P2的任意一点,若存在一个实数,使営1?
Pb,则实数叫做点p分有向线段P7P2所成的比,p点
叫做有向线段P1P2的以定比为的定比分点.
2.的符号与分点P的位置之间的关系
(1)P内分线段P^,即点P在线段RP2上0;
(2)P外分线段pp时,①点P在线段RP2的延长线上1,②
点P在线段PP2的反向延长线上10.
注:
若点P分有向线段PPU2所成的比为,则点P分有向线段常所成的
比为1.
举例16若点p分Ar所成的比为;
,则a分品所成的比为
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