跨越一本线届高三数学问题31应用三角公式化简求值的技巧问题含答案文档格式.docx
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A.B.-C.D.-
【解析】cos=cos=coscos+sinsin,
∵0<α<,∴<+α<,∴sin=.
又-<β<0,则<-<,∴sin=.
故cos=×
+×
=.
【答案】C
二、函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】【2017天津六校高三上学期期中联考】若,,则.
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
(1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的式子分别称为关于sinα,cosα的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解.如果分母为1,可考虑将1写成sin2α+cos2α.(3)已知tanα=m的条件下,求解关于sinα,cosα的齐次式问题,必须注意以下几点:
①一定是关于sinα,cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式.②因为cosα≠0,所以可以用cosnα(n∈N*)除之,这样可以将被求式化为关于tanα的表示式,可整体代入tanα=m的值,从而完成被求式的求值运算.③注意1=sin2α+cos2α的运用.
【小试牛刀】设且则()
A.B.
C.D.
【解析】由
又,,故,即.
三、常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【2017四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试】函数的图象的一条对称轴方程为()
A.B.C.D.
【分析】先用辅助角公式对所给函数进行变换:
==.
【答案】B
【点评】常数的变换在辅助角公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.
【小试牛刀】【2016届山东师大附中高三上学期二模】若,且()
【解析】因为,,所以,即
所以
四、降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.
【例4】【2016届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数
(1)求函数的最小正周期和最大值;
(2)求函数单调递增区间
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数(或余弦函数)的性质得出结论.
【解析】
(1)
函数的最小正周期为,
函数的最大值为
(2)由
得
函数的单调递增区间为
【点评】在进行三角函数化简、求值、恒等式证明时,常常采用切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降低次的方法,达到由不统一转化到统一,消除差异的目的.总之,三角恒等变换说到底就是“四变”,即变角、变名、变式、变幂.通过对角的分拆,达到使角相同;
通过转换函数,达到同名(最好使式中只含一个函数名);
通过对式子变形,达到化简(尽可能整式化、低次化、有理化);
通过幂的升降,达到幂的统一.
∈R、k∈N等.
【小试牛刀】已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-+1(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求f(x)的值域.
(3)∵x∈,
∴2x+∈.
∴sin(2x+)∈.
∴f(x)∈.
五、和差倍分,注意结构
三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.
【例5】已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【分析】先化简表达式,利用商数关系得到,再利用倍角公式展开,将代入到化简的式子中计算即可;
第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.
(1)∵,则,∴
∴
(2)原式
【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.
【小试牛刀】【2017江西省抚州市七校2高三上学期联考】若,则()
【答案】D
六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα=,tanα±
tanβ=tan(α+β)(1tanαtanβ)等.
【例7】的值为()
A.B.C.D.
【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°
+50°
=60°
入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°
+tan50°
和tan10°
tan50°
在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
变形,
故
.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】【2017江西九江月考】的值是()
A.1B.C.2D.
【解析】==,故选C.
迁移运用
1.【2017河北唐山高三年级期末】已知,则()
A.B.C.D.
【解析】因为,所以=,故选D.
2.设α、β都是锐角,且cosα=,sin(α+β)=,则cosβ等于( )
A.B.C.或D.或
【答案】A
【解析】依题意得sinα==,cos(α+β)=±
=±
.又α,β均为锐角,所以0<
α<
α+β<
π,cosα>
cos(α+β).因为>
>
-,所以cos(α+β)=-.于是cosβ=cos
=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×
3.【2017山东省枣庄高三上学期期末】已知,则的值是()
A.B.C.D.
【解析】,又,所以,,所以=,故选C.
4.【2016届河北省正定中学高三上学期期中】已知,则的值是
5.【2016届福建省师大附中高三上学期期中】若,则的值为()
【解析】因为,所以,故选C.
6.cos·
cos·
cos等于( )
A.-B.-C.D.
【解析】原式=cos·
cosπ·
cos(-3π+π)==
==-.
7.已知,那么等于()
8.已知,,,则
A.B.C.D.
9.4cos50°
-tan40°
=( )
A. B. C. D.2-1
【解析】4cos50°
=4cos50°
-=-=
===
10.【2017河南省天一大联考】已知,则.
【答案】
【解析】因为,所以,故答案为.
11.【2017山东潍坊高三上学期期中联考】已知,,则.
12.【2017山东省枣庄高三上学期期末】函数的减区间是.
【解析】,由,得,所以函数的减区间是.
13.【2017黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知,则.
14.【2017山西省孝义高三上学期二轮模考】已知,求下列各式的值.
(1);
(2).
(2).
(1)∵,
∴,即,
则原式.
(2)∵,即,
∴原式.
15.【2017河南省天一大联考】已知函数.
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间;
(2)若时,函数的最大值为0,求实数的值.
(1),
则函数的最小正周期,
根据,,得,,
所以函数的单调递增区间为,.
(2)因为,所以,
则当,时,函数取得最大值0,
即,解得.
考点:
1、三角函数值的周期性及单调性;
2、三角函数在闭区间上的最值.
16.【2017四川省资阳高三上学期第一次诊断考试】已知函数(其中)的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数的图象.求函数在上零点.
(Ⅰ);
(Ⅱ)和.
(Ⅰ)
由最小正周期,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,将函数的图象向左平移个单位,
得到图象的解析式,
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到.
由,得,
故当时,函数的零点为和.
17.已知cosα=,cos=,且0<
β<
.
(1)求tan2α的值;
(2)求β的值.
18.【2016届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】在三角形中,
(1)求角A的大小;
(2)已知分别是内角的对边,若且,求三角形的面积.
;
(2)
;
由正弦定理可得,又由余弦定理可得,综上所述,.
19.【2017河北省冀州中学上学期第二次阶段考试】已知函数.
(Ⅰ)求的最小正周期和单调增区间;
(Ⅱ)若为的一个零点,求的值.
(Ⅰ)最小正周期为,单调递增区间是;
(Ⅱ).
(I)
所以的最小正周期为,
因为,∴,
所以函数的单调递增区间是.
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