高考数学理一轮复习分层演练89直线与圆锥曲线的位置关系含答案Word文档下载推荐.docx

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无交点

（2）几何法：

在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．

2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题

设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1，y1），B（x2，y2），则

|AB|＝|x1－x2|

＝

＝|y1－y2|

＝.

1．辨明两个易误点

（1）直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

（2）直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点．

2．“点差法”求解弦中点问题的步骤

—

　↓

1．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于（　　）

A.　　　　　　　　　　　B．

C.D．4

　C　[解析]由消去y得ax2－x＋1＝0，

所以解得a＝.

2．双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左，右两支都相交的充要条件是（　　）

A．k＞－　　B．k＜

C．k＞或k＜－D．－＜k＜

　D　[解析]由双曲线渐近线的几何意义知

－＜k＜.

3．过点的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则·

的值为（　　）

A．－　　B．－

C．－4D．无法确定

　B　[解析]设A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx－，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得

所以·

＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝（k2＋1）·

x1x2－k（x1＋x2）＋＝－（k2＋1）－k·

（－k）＋＝－.故选B．

4．过点A（1，0）作倾斜角为的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．

[解析]过A（1，0）且倾斜角为的直线方程为y＝x－1，代入y2＝2x得x2－4x＋1＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），有x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|MN|＝|x1－x2|＝·

＝·

＝2.

[答案]2

5．过点（0，1）作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有________条．

[解析]结合图形分析可知（图略），满足题意的直线共有3条：

直线x＝0，过点（0，1）且平行于x轴的直线以及过点（0，1）且与抛物线相切的直线（非直线x＝0）．

[答案]3

　直线与圆锥曲线的位置关系[学生用书P181]

[典例引领]

　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

＋＝1（a>

b>

0）的左焦点为F1（－1，0），且点P（0，1）在C1上．

（1）求椭圆C1的方程；

（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：

y2＝4x相切，求直线l的方程．

【解】　

（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（－1，0），

所以c＝1.

将点P（0，1）代入椭圆方程＋＝1，

得＝1，即b＝1，

所以a2＝b2＋c2＝2.

所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.

（2）由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，

设直线l的方程为y＝kx＋m，

由消去y并整理得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4（1＋2k2）（2m2－2）＝0.

整理得2k2－m2＋1＝0.①

由消去y并整理得k2x2＋（2km－4）x＋m2＝0.因为直线l与抛物线C2相切，

所以Δ2＝（2km－4）2－4k2m2＝0，

整理得km＝1.②

综合①②，解得或

所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.

直线与圆锥曲线位置关系的判断方法

直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数，可以研究直线与圆锥曲线的位置关系，即用代数法研究几何问题，这是解析几何的重要思想方法．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题，实际上是研究方程组解的个数问题．　

　已知直线l：

y＝2x＋m，椭圆C：

＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

（1）有两个不重合的公共点；

（2）有且只有一个公共点．

[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组

将①代入②，

整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③

方程③根的判别式Δ＝（8m）2－4×

9×

（2m2－4）

＝－8m2＋144.

（1）当Δ>

0，即－3<

m<

3时，方程③有两个不同的实数根，可知方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．

（2）当Δ＝0，即m＝±

3时，方程③有两个相同的实数根，可知方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．

　弦长问题[学生用书P181]

　（2017·

宜春中学与新余一中联考）设椭圆M：

0）的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.

（1）求椭圆M的方程；

（2）若直线y＝x＋1交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB的面积．

【解】　

（1）由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，

由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，

故椭圆M的方程为＋＝1.

（2）联立方程，得4x2＋2x－3＝0，

且，所以|AB|＝|x1－x2|＝·

＝.又P到直线AB的距离为d＝，所以S△PAB＝|AB|·

d＝·

·

弦长的计算方法

求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解．

[注意]　两种特殊情况：

（1）直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；

（2）直线过圆锥曲线的焦点．　

石家庄模拟）已知以A为圆心的圆（x－2）2＋y2＝64上有一个动点M，B（－2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为Z.

（1）求轨迹Z的方程；

（2）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线Z于D，E，F，G四个点，求|DE|＋|FG|的取值范围．

[解]

（1）连接PB，依题意得|PB|＝|PM|，所以|PB|＋|PA|＝|AM|＝8，

所以点P的轨迹Z是以A，B为焦点，4为长半轴长的椭圆，

所以a＝4，c＝2，则b＝2.

所以轨迹Z的方程是＋＝1.

（2）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|＋|FG|＝6＋8＝14；

当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k（x－2），D（x1，y1），E（x2，y2），

联立整理得（3＋4k2）x2－16k2x＋16k2－48＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|DE|＝

＝，

同理可得|FG|＝，

所以|DE|＋|FG|＝，

设t＝k2＋1，则t>

1，

当t>

1时，易证y＝在（1，2）上递增，在（2，＋∞）上递减，所以0<

y≤，

所以|DE|＋|FG|的取值范围是.

综上，|DE|＋|FG|的取值范围是.

　中点弦问题[学生用书P182]

　（2015·

高考全国卷Ⅱ）已知椭圆C：

0）的离心率为，点（2，）在C上．

（1）求C的方程；

（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：

直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

【解】　

（1）由题意有＝，＋＝1，

解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为＋＝1.

（2）证明：

法一：

设直线l：

y＝kx＋b1（k≠0，b1≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）．

将y＝kx＋b1代入＋＝1，得

（2k2＋1）x2＋4kb1x＋2b－8＝0.

故xM＝＝，yM＝k·

xM＋b1＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·

k＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

法二：

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），

则＋＝1，①

＋＝1，②

①－②得＋＝0，即·

＝－.

又y1＋y2＝2y0，x1＋x2＝2x0，所以·

kAB＝－.即kOM·

kAB＝－.

所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－.

　在平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

0）右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.求M的方程．

[解]设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则

＋＝1，＋＝1，＝－1，

由此可得＝－＝1.

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，

所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为（，0），故a2－b2＝3.

因此a2＝6，b2＝3.

所以M的方程为＋＝1.

[学生用书P370（独立成册）]

1．已知双曲线－＝1（a>

0，b>

0）与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为（　　）

A．（1，）　　　　　　　　B．（1，]

C．（，＋∞）D．[，＋∞）

　C　[解析]因为双曲线的一条渐近线方程为y＝x，

则由题意得>

2，

所以e＝＝>

2．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（　　）

A．4　　B．3

C．4D．8

　C　[解析]因为y2＝4x，

所以F（1，0），l：

x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：

y＝（x－1），与y2＝4x联立，解得A（3，2），

所以AK＝4，所以S△AKF＝×

4×

2＝4.

3．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

A．有且只有一条　　B．有且只有两条

C．有且只有三条D．有且只有四条

　B　[解析]若直线AB的斜率不存在时，则横坐标之和为1，不符合题意．若直线AB的斜率存在，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y＝k（x－），代入抛物线y2＝2x得，k2x2－（k2＋2）x＋k2＝0，因为A、B两点的横坐标之和为2.所以k＝±

.所以这样的直线有两条．

4．（2017·

河南重点中学联考）已知直线l：

y＝2x＋3被椭圆C：

0）截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（　　）

①y＝2x－3；

②y＝2x＋1；

③y＝－2x－3；

④y＝－2x＋3.

A．1条　　B．2条

C．3条D．4条

　C　[解析]直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.

5．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°

的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则·

等于（　　）

A．－3　　B．－

C．－或－3D．±

　B　[解析]依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1，0）时，其方程为y－