初中数学乘法公式例题解析.doc
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乘法公式例题解析
新课指南
1.知识与技能:
掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab公式,通过公式运用,培养学生运用公式的计算能力.
2.过程与方法:
经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的过程,培养学生研究问题和探索规律的方法.
3.情感态度与价值观:
(1)通过从多项式的乘法到乘法公式,再运用公式计算多项式的乘法,培养学生从一般到特殊,再从特殊到一般的思维能力;
(2)通过乘法公式的几何背景,培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.
4.重点与难点:
重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2.难点是公式中字母的广泛含义.
教材解读精华要义
数学与生活
如图15-16所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,
(1)请表示图15-16
(1)中阴影部分的面积;
(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形,如图15-16
(2)所示,这个长方形的长和宽分别是多少?
请你表示出它的面积?
(3)比较
(1)
(2)的结果,你能发现什么?
思考讨论由图15-16
(1)可知,阴影部分的面积为(a2-b2),由图15-16
(2)可知,拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b),由于图
(2)是由图
(1)拼成的,故两图面积相等,所以有(a+b)(a-b)=a2-b2那么如何证明呢?
知识详解
知识点1平方差公式及其导出
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a2-b2.
这就是说,两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.
经过计算,同学们首先发现,四个小题所得到的结果有惊人的相同之处:
每个小题的结果都只含有两项,而且都可以写成两个数的平方差形式.
为什么会有这些相同之处呢?
同学们会想到,这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联:
它们的第一项都相同,第二项的绝对值相同,但是符号相反.
归纳类似的多项式相乘的式子,就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a2-a2.
直接计算也可以得到这个公式:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
【注意】a,b仅仅是一个符号,它们可以表示数,也可以表示式子(单项式、多项式等),只是它们的和与差的积,一定等于它们的平方差.
认识公式的特征至关重要.
平方差公式的特征:
公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差,而公式的右边恰好是这两个数的平方差.
知识规律小结
(1)在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2时,需仔细识别公式中的a与b,例如:
(2x+3)(2x-3)中,把2x看成a,3看成b;(-m+2n)(-m-2n)中,把-m看成a,2n看成b;(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b,因此有:
(2x+3)(2x-3)=(2x)2-32=4x2-9;
(-m+2n)(-m-2n)=(-m)2-(2n)2=m2-4n2;
(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)2-(3a)2=4b2-9a2.
(2)在51×49中,a==50,b==1,
∴51×49=(50+1)(50-1)=502-12=2499.
知识点2完全平方公式及其推导
探究交流
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=;
(2)(m+2)2=;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=;(4)(m-2)2=.
点拨两个数和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.
一般地,我们有:
(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
例如:
(2x+3)2=(2x)2+2·2x·3+32=4x2+12x+9,
(3m-4)2=(3m)2-2·3m·4+42=9m2-24m+16.
在记忆公式(a±b)2=a2±2ab+b2时,要在理解和比较的基础上记忆,两个公式相同之处在于两个数的平方和,不同之处在于中间项的符号不同,计算时要注意.如:
(x-2y)2=x2-2·x·2y+(2y)2=x2-4xy+4y2.
说明完全平方公式,既可以用多项式乘法进行推导:
(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b2=a2+2ab+b2.
同时,也可以用观察情境来推导,如图15-17所示.
由图
(1)可知,(a+b)2=a2+2ab+b2,
由图
(2)可知,(a-b)2=a2-2ab+b2.
知识点3添括号法则
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
【说明】添括号法则与去括号法则是一致的,添括号正确与否,可用去括号进行检验.
知识点4公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.
(x+a)(x+b)
=x2+bx+ax+ab
=x2+(a+b)x+ab.
例如:
(x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+2×3=x2+5x+6,
(x+2)(x-3)=x2+(2-3)x+2×(-3)=x2-x-6.
【注意】注意a与b的值,该公式在多项式乘法中广泛应用.
典例剖析师生互动
基本知识应用题
本节知识的基础应用主要包括:
(1)会推导平方差公式;
(2)会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的计算;(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
例1运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(b+2a)(2a-b);(3)(-x+2y)(-x-2y).
(分析)
(1)中,把3x看作a,2看作b;
(2)中,2a看作a,b看作b;(3)中,-x看作a,2y看作b.
解:
(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2
例2运用完全平方公式计算.
(1)(4m+n)2;
(2)(y-)2.
(分析)主要是正确地应用公式.
解:
(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2.
(2)(y-)2=y2-2y·+()2=y2-y+.
【说明】在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2时,关键是看清题目中哪一个是公式中的a,哪一个是公式中的b.
例3运用乘法公式计算.
(1)102×98;
(2)1022;(3)992.
(分析)灵活应用乘法公式计算.
(1)中,102×98=(100+2)(100-2);
(2)中,1022=(100+2)2;(3)中,992=(100-1)2,然后利用公式计算即可.
解:
(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.
(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.
(3)992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801.
例4计算.
(1)(m-5)(m+3);
(2)(2x-3)(2x-4).
(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的应用.
解:
(1)(m-5)(m+3)
=m2+[(-5)+3]m+(-5)·3
=m2-2m-15.
(2)(2x-3)(2x-4)
=(2x)2+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)
=4x2-14x+12.
综合应用题
本节知识的综合应用主要包括:
(1)公式之间的综合应用;
(2)与方程的综合应用;(3)与不等式的综合应用.
例5计算.
(1)(x+2y-3)(x-2y+3);
(2)(a+b+c)2;
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
(分析)本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.
(1)题把x看作公式中的a,(2y-3)看成公式中的b;
(2)题把(a+b)看成公式中的a,c看成公式中的b;(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解:
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9.
(2)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y2-4)-(y2+4y-5)
=y2-4-y2-4y+5=-4y+1.
例6计算.
(1)(b-2)(b2+4)(b+2);
(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).
(分析)
(1)题用乘法的交换律和结合律;
(2)题用平方差公式和整式减法.
解:
(1)(b-2)(b2+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b2+4)
=(b2-4)(b2+4)=b4-16.
(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a2-b2)-(9a2-4b2)
=4a2-b2-9a2+4b2=-5a2+3b2.
学生做一做计算.
(1)(-x)(+x2)(x+);
(2)(x+3)2-(x+2)(x-2).
老师评一评
(1)原式=-x4;
(2)原式=6x+13.
例7解方程2(x-2)+x2=(x+1)(x-1)+x
(分析)熟练应用整式的乘法公式.
解:
2x-4+x2=x2-1+x,
2x+x2-x2-x=-1+4,
∴x=3.
例8解不等式x(x-3)>(x+7)(x-7).
(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.
解:
x2-3x>x2-49,
x2-3x-x2>-49,
-3x>-49,
∴x<.
探索与创新题
主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.
例9计算19982-1997×1999.
(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简,其中,
1997×1999=(1998-1)(1998+1).
解:
19982-1997×1999
=19982-(1998-1)(1998+1)
=19982-(19982-1)
=19982-19982+1
=1.
学生做一做计算.
老师评一评原式=
=
=
=
=2003.
例10计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1).
(分析)要计算本题,一般先计算每一个括号内的,然后再求它们的积,这样做是复杂的,也是不必要的,我们不妨考虑用平方差公式来解决,即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.
解:
原式=
=(22-1)(22+1)(24+1)…(22n+1)
=(24-1)(24+1)…(22n+1)
=(22n)2-1
=24n-1.
学生做一做计算.
(1)3·(22+1)(24+1)…(232+1)+1;
(2)1002-992+982-972+962-952+…+22-12;
(3)(1-)(1-
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