基本概念输入过程和服务时间分布几个排队模型排队PPT格式课件下载.pptx
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基本概念输入过程和服务时间分布几个排队模型排队PPT格式课件下载.pptx
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先到先服务按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务,这是最普遍的情形.后到先服务例如仓库中迭放的钢材,后迭放上去的先被领走.随机服务即当服务台空闲时,不按照排队顺序而随意指定某个顾客去接受服务.优先权服务如老人、儿童优先进车站;
危重病员先就诊;
遇到重要数据需要处理计算机立即中断其他数据的处理等.,(3)混合制这是等待制与损失制相结合的一种服务规则,一般指允许排队,但不允许队列无限长.一般有三种情形:
队长有限当排队等待服务的顾客人数超过规定数量时,后来的顾客自动离去,即系统的等待空间是有限的.如在最多只能容纳m个顾客的系统中,当新顾客到达时,若系统中的顾客数(称为队长)小于m,则可进入系统排队或接受服务;
否则,便离开系统,并不再回来.如水库的库容是有限的,旅馆的床位是有限的.,等待时间有限即顾客在系统中的等待时间不超过某一给定的长度T,当等待时间超过T时,顾客将自动离去,并不再回来.如在易损坏的电子元件库存问题中,超过一定存储时间的元件被自动认为失效.逗留时间(等待时间与服务时间之和)有限例如用高射炮射击飞机,飞机越过高射炮射击有效区域的时间有限.,服务台从三个方面来描述:
(1)服务台数量及构成形式从数量上来看,服务台有单服务台和多服务台之分.从构成形式上来看,服务台有:
单队单服务台式;
单队多服务台并联式;
多队多服务台并联式;
单队多服务台串联式;
单队多服务台并串联混合式,以及多队多服务台并串联混合式等等.,单服务台排队系统,单队列n个服务台并联的排队系统,n个队列n个服务台的并联排队系统,单队多个服务台的串联排队系统,多队多服务台混联、网络系统,一般排队系统的描述,
(2)服务方式在某一时刻接受服务的顾客数,它有单个服务和成批服务两种.(3)服务时间的分布一般情况下,对每一个顾客的服务时间是一随机变量,其概率分布有定长分布、负指数分布、k级Erlang分布、一般分布(所有顾客的服务时间都是独立同分布的)等等.3.排队系统的描述符号与分类为了区别各种排队系统,根据输入过程、服务规则和服务台的变化对排队模型进行描述或分类,1953年英国统计学家D.G.Kendall,(1918-2007)提出了一种目前在排队论中被广泛采用的记号,后来又被扩充为如下的表达方式:
X/Y/Z/A/B/C各符号的意义为:
X表示顾客相继到达间隔时间分布,常用下列符号:
M表示到达过程为Poisson过程或负指数分布;
D表示定长输入;
Ek表示k阶Erlang分布;
G表示一般相互独立的随机分布.,Y表示服务时间分布,所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同.Z表示服务台(员)个数.A表示系统中顾客容量限额:
如系统容量为m(m0),有n个服务台,当m=n时,说明系统不允许等待,即为损失制.m=时为等待制系统,此时一般省略不写.nm时为混合制系统.B表示顾客源限额,分有限与无限两种,表示顾客源无限,此时一般也省略不写.,C表示服务规则,常用下列符号:
FCFS表示先到先服务的排队规则;
LCFS表示后到先服务的排队规则;
PR表示优先权服务的排队规则.例如:
排队问题M/M/n/FCFS表示顾客到达间隔时间为Poisson流(负指数分布),服务时间为负指数分布,有n个服务台,系统等待空间容量无限(等待制),顾客源无限,采用先到先服务规则.,在很多情况下,排队问题仅用上述表达形式中的前3个、4个或5个符号.如不特别说明,均理解为系统等待空间容量无限,顾客源无限,先到先服务,单个服务的等待制系统.
(二)排队系统的主要运行指标研究排队系统目的是通过了解系统运行的状况,对系统进行调整和控制,使系统处于最优运行状态.因此,首先需要描述系统的运行状况,主要运行指标有:
1.队长和等待队长队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和).等待队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数.队长和等待队长一般都是随机变量,我们希望能确定它们的分布,或至少能确定它们的期望值(即平均队长和平均等待队长).队长的分布是顾客和服务员都关心的,特别对系统设计人员来说,如果能知道队长的分布,就能确定队长超过某个值的概率,从而确定合理的等待空间.,2.等待时间和逗留时间从顾客到达时刻起到他开始接受服务止的这段时间称为等待时间,是随机变量,也是顾客最关心的指标,因为顾客通常希望等待时间越短越好.从顾客到达时刻起到他接受服务完成止的这段时间称为逗留时间,也是随机变量,顾客同样非常关心.对于这两个指标的研究当然是希望能够确定它们的分布,或至少能够知道顾客的平均等待时间和平均逗留时间.,除了上述几个主要运行指标外,还会用到其他一些重要的指标.如在损失制或系统容量有限的情况下,由于顾客被拒绝,而使服务系统受到损失的顾客损失率及系统强度等.由于相当一部分排队系统在运行了一定时间后,都会趋于一个平稳状态,在平稳状态下,运行指标与系统所处的时刻无关,而且系统初始状态的影响也会消失.我们将主要讨论系统平稳状态的性质.(三)一些常用记号Pn稳态系统任一时刻状态为n的概率.平均到达率;
1/平均到达间隔.,平均服务率;
1/平均服务时间.Ls平均队长稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值;
Lq平均等待队长稳态系统任一时刻的等待服务的顾客数的期望值;
Ws平均逗留时间在任意时刻进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值;
Wq平均等待时间在任意时刻进入稳态系统的顾客等待时间的期望值.对于损失制和混合制的排队系统,顾客在到达服务系统时,若系统容量已满则离去,到达的顾客不一定全部进入系统,为此引入有效平均到达率.,e有效平均到达率每单位时间内进入系统的平均顾客数(期望值).这时就是每单位时间内来到系统(包括未进入系统)的平均顾客数(期望值).对于等待制的排队系统,有e=.(四)Little公式在系统达到稳态时,有效平均到达率为常数e,则有下面的JohnD.C.Little(美国,1928-)公式:
(一)输入过程输入过程描述顾客以怎样的规律到达系统,一般用相继两顾客到达时间间隔来描述系统输入特征.主要输入过程有:
1.定长输入.顾客有规则地等距到达,每隔时间到达一个顾客.这时相继顾客到达间隔的分布函数F(t)为:
二.输入过程和服务时间分布,2.Poisson输入,又称最简单流.满足下面三个条件的输入称之为最简单流.
(1)平稳性.又称输入过程是平稳的,指在长度为t的时段内恰好到达k个顾客的概率仅与时段长度有关,而与时段起点无关,即对任意(0,),在(,+t或(0,t)内恰好到达k个顾客的概率相等:
设初始条件为,且有.,
(2)无后效性.在任意几个不相交的时间区间内,各自到达的顾客数是相互独立的.通俗地说就是以前到达的顾客情况,对以后顾客的到来没有影响.(3)单个性又称普通性.在充分小的时段内最多到达一个顾客.可以证明,对于Poisson流,随机变量N(t)服从Poisson分布,即在长度为t的时间内到达k个顾客的概率为,其中参数0为一常数,表示单位时间内到达顾客的平均数,又称为顾客的平均到达率.对于Poisson流,可以证明其相继顾客到达时间间隔i,i=1,2,是相互独立同分布的,服从负指数分布,其分布函数和分布密度分别为:
3.k阶Erlang输入.在参数为的Poisson输入中,对任意的j与k,设第j与第j+k个顾客之间的到达间隔为,可以证明,随机变量Tk服从参数为的k阶Erlang分布其分布密度为:
其中k为非负整数.例如某排队系统有并联的k个服务台,顾客流为Poisson流,规定第i,k+i,2k+i,个顾客排入第i号台(i=1,2,k),则第k台所获得的顾客流,即为k阶Erlang输入流,其他各台,从它的第一个顾客到达以后开始所获得的流也为k阶Erlang输入流.,4.成批到达的输入.排队系统每次到达的顾客不一定是一个,而可能是一批,每批顾客的数目n是一个随机变量,其分布为:
(二)服务时间分布1.定长分布.每一个顾客的被服务时间都是常数,此时服务时间t的分布函数为:
2.负指数分布.各个顾客的被服务时间相互独立,具有相同的负指数分布,分布函数为,其中0为一常数,服务时间t的数学期望1/为平均被服务时间.3.k阶Erlang分布.每个顾客的被服务时间相互独立,具有相同的Erlang分布,密度函数为其中0为一常数,平均服务时间为当k=1时,Erlang分布化归为负指数分布.当k时,得到长度为1/的定长分布.,(三)排队论研究的基本问题排队论研究的首要问题是排队系统主要运行指标的概率规律,即研究系统的整体性质,然后进一步研究系统的优化问题.与这两个问题相关的还包括排队系统的统计推断问题.1.通过研究主要运行指标在瞬时或平稳状态下的概率分布及其数字特征,了解系统运行的基本特征.2.统计推断问题.建立适当的排队模型是排队论研究的第一步,建立模型过程中经,常要考虑如下问题:
检验系统是否达到平稳状态;
检验顾客相继到达时间间隔的相互独立性;
确定服务时间的分
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