全国大学生高等数学竞赛试题汇总与答案Word文件下载.docx
- 文档编号:13938433
- 上传时间:2022-10-15
- 格式:DOCX
- 页数:25
- 大小:1.18MB
全国大学生高等数学竞赛试题汇总与答案Word文件下载.docx
《全国大学生高等数学竞赛试题汇总与答案Word文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国大学生高等数学竞赛试题汇总与答案Word文件下载.docx(25页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
的切平面方程是。
4.设函数由方程确定,其中具有二阶导数,且,则________________.
方程的两边对求导,得
因,故,即,因此
二、(5分)求极限,其中是给定的正整数.
解:
因
故
因此
三、(15分)设函数连续,,且,为常数,求并讨论在处的连续性.
由和函数连续知,
因,故,
因此,当时,,故
当时,
,
这表明在处连续.
四、(15分)已知平面区域,为的正向边界,试证:
(1);
(2).
证:
因被积函数的偏导数连续在上连续,故由格林公式知
(1)
而关于和是对称的,即知
(2)因
由
知
即
五、(10分)已知,,是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.
解设,,是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解,则和都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解,因此的特征多项式是,而的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为,由和
知,
二阶常系数线性非齐次微分方程为
六、(10分)设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解因抛物线过原点,故,于是
即
而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积
令
得
,.
七、(15分)已知满足,且,求函数项级数之和.
解
由一阶线性非齐次微分方程公式知
由知,,
于是
下面求级数的和:
则
令,得,因此级数的和
八、(10分)求时,与等价的无穷大量.
解令,则因当,时,,故
在上严格单调减。
又
所以,当时,与等价的无穷大量是。
2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、(25分,每小题5分)
(1)设其中求
(2)求。
(3)设,求。
(4)设函数有二阶连续导数,,求。
(5)求直线与直线的距离。
解:
(1)=
===
(2)
令x=1/t,则
原式=
(3)
二、(15分)设函数在上具有二阶导数,并且
且存在一点,使得。
证明:
方程在恰有两个实根。
二阶导数为正,则一阶导数单增,f(x)先减后增,因为f(x)有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值。
将f(x)二阶泰勒展开:
因为二阶倒数大于0,所以
,
证明完成。
三、(15分)设函数由参数方程所确定,其中具有二阶导数,曲线与在出相切,求函数。
(这儿少了一个条件)由与在出相切得
=。
。
上式可以得到一个微分方程,求解即可。
四、(15分)设证明:
(1)当时,级数收敛;
(2)当且时,级数发散。
(1)>
0,单调递增
当收敛时,,而收敛,所以收敛;
当发散时,
所以,
而,收敛于k。
所以,收敛。
(2)
所以发散,所以存在,使得
于是,
依此类推,可得存在
使得成立,所以
当时,,所以发散
五、(15分)设是过原点、方向为,(其中的直线,均匀椭球
,其中(密度为1)绕旋转。
(1)求其转动惯量;
(2)求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
(1)椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离
由轮换对称性,
六、(15分)设函数具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上,曲线积分的值为常数。
(1)设为正向闭曲线证明
(2)求函数;
(3)设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求。
(1)L不绕原点,在L上取两点A,B,将L分为两段,,再从A,B作一曲线,使之包围原点。
则有
(2)令
由
(1)知,代入可得
上式将两边看做y的多项式,整理得
由此可得
解得:
(3)取为,方向为顺时针
2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一.计算下列各题(本题共3小题,每小题各5分,共15分)
(1).求;
(用两个重要极限):
(2).求;
(用欧拉公式)令
其中,表示时的无穷小量,
(3)已知,求。
二.(本题10分)求方程的通解。
设,则
是一个全微分方程,设
该曲线积分与路径无关
三.(本题15分)设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且均不为0,证明:
存在唯一一组实数,使得。
由极限的存在性:
即,又,①
由洛比达法则得
由极限的存在性得
即,又,②
再次使用洛比达法则得
③
由①②③得是齐次线性方程组的解
设,则,
增广矩阵,则
所以,方程有唯一解,即存在唯一一组实数满足题意,
且。
四.(本题17分)设,其中,,为与的交线,求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
设上任一点,令,
则椭球面在上点M处的法向量为:
在点M处的切平面为:
原点到平面的距离为,令则,
现在求在条件,下的条件极值,
则由拉格朗日乘数法得:
解得或,
对应此时的或
此时的或
又因为,则
所以,椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为:
,
五.(本题16分)已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分()取上侧,是S在点处的切平面,是原点到切平面的距离,表示S的正法向的方向余弦。
计算:
(1)由题意得:
椭球面S的方程为
令则,
切平面的法向量为,
的方程为,
原点到切平面的距离
将一型曲面积分转化为二重积分得:
记
(2)方法一:
六.(本题12分)设f(x)是在内的可微函数,且,其中,任取实数,定义证明:
绝对收敛。
由拉格朗日中值定理得:
介于之间,使得
,又得
级数收敛,级数收敛,即绝对收敛。
七.(本题15分)是否存在区间上的连续可微函数f(x),满足,
?
请说明理由。
假设存在,当时,由拉格朗日中值定理得:
介于0,x之间,使得,
同理,当时,由拉格朗日中值定理得:
介于x,2之间,使得
显然,
,又由题意得
即,
不存在,又因为f(x)是在区间上的连续可微函数,即存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数f(x)。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全国大学生 高等数学 竞赛 试题 汇总 答案
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)