高中学年数学高考一轮复习第三章三角函数34两角和与差的三角函数Word格式文档下载.docx
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2.公式的综合运用
2.研究三角函数性质
分析解读 本节内容是高考的重点.主要考查三角函数求值及公式的变形运用.
五年高考
考点一 两角和与差的三角函数的基本运用
1.(2017江苏,5,5分)若tan=,则tanα= .
答案
2.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为 .
答案 3
3.(2015四川,12,5分)sin15°
+sin75°
的值是 .
4.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为 .
答案 1
5.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·
sin-cos2x+,x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.
解析
(1)由已知,有
f(x)=cosx·
-cos2x+
=sinx·
cosx-cos2x+
=sin2x-(1+cos2x)+
=sin2x-cos2x
=sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,
f=-,f=-,f=,
所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.
6.(2013安徽理,16,12分)已知函数f(x)=4cosωx·
sin(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解析
(1)f(x)=4cosωx·
sin
=2sinωx·
cosωx+2cos2ωx
=(sin2ωx+cos2ωx)+
=2sin+.
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>
0,
所以=π,故ω=1.
(2)由
(1)知,f(x)=2sin+.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,
即0≤x≤时,f(x)单调递增;
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
教师用书专用(7)
7.(2014福建,16,13分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<
α<
且sinα=,求f(α)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析 解法一:
(1)因为0<
sinα=,
所以cosα=.
所以f(α)=×
-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
解法二:
f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+cos2x=sin.
sinα=,所以α=,
从而f(α)=sin=sin=.
(2)T==π.
考点二 公式的综合运用
1.(2016课标全国Ⅱ理改编,9,5分)若cos=,则sin2α= .
答案 -
2.(2015重庆改编,9,5分)若tanα=2tan,则= .
3.(2014课标Ⅰ改编,8,5分)设α∈,β∈,且tanα=,则2α-β= .
4.(2013课标全国Ⅰ理,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .
5.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsincos-.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
解析
(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tanxcosxcos-
=4sinxcos-
=4sinx-
=2sinxcosx+2sin2x-
=sin2x+(1-cos2x)-
=sin2x-cos2x=2sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,易知函数y=2sinz的单调递增区间是,k∈Z.
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=,易知A∩B=.
所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
6.(2014重庆,17,13分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值;
(2)若f=,求cos的值.
解析
(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,因为ω>
0,所以ω==2.
又因为f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2·
+φ=kπ+,k∈Z.由-≤φ<
得k=0,
所以φ=-=-.
(2)由
(1)得f=sin=,
所以sin=.
由<
得0<
α-<
所以cos===.
因此cos=sinα=sin
=sincos+cossin
=×
+×
=.
7.(2014四川,16,12分)已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,f=coscos2α,求cosα-sinα的值.
解析
(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为,k∈Z,
所以由-+2kπ≤3x+≤+2kπ,k∈Z,得
-+≤x≤+,k∈Z.
所以,函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由已知,有sin=cos(cos2α-sin2α),
所以sinαcos+cosαsin
=(cos2α-sin2α).
即sinα+cosα=(cosα-sinα)2(sinα+cosα).
当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=+2kπ,k∈Z.
此时,cosα-sinα=-.
当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=.
由α是第二象限角,知cosα-sinα<
此时cosα-sinα=-.
综上所述,cosα-sinα=-或-.
教师用书专用(8)
8.(2013四川理,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-.
(1)求cosA的值;
(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.
解析
(1)由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-,得[cos(A-B)+1]cosB-sin(A-B)sinB-cosB=-,
即cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-.
则cos(A-B+B)=-,即cosA=-.(5分)
(2)由cosA=-,0<
A<
π,得sinA=,
由正弦定理得sinB==.
由题意知a>
b,则A>
B,故B=.
根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×
5c×
解得c=1或c=-7(舍去).
故向量在方向上的投影为||cosB=.(12分)
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·
基础题组
1.(2017江苏苏州期中,5)已知tanα=-,则tan= .
答案 7
2.(2017江苏苏州学情调研,10)已知α∈,β∈,cosα=,sin(α+β)=-,则cosβ= .
3.(苏教必4,三,1,变式)若cosα=-,sinβ=-,α∈,β∈,则sin(α+β)的值为 .
4.(2017江苏泰州中学质检,15)已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x.
(1)求f(x)的值域和最小正周期;
(2)若f(x)=-1,求cos的值.
解析
(1)f(x)=sinxcosx-cos2x=sin2x-=sin2x--=sin-,
所以f(x)的值域为,最小正周期T==π.
(2)因为f(x)=-1,所以sin-=-1,即sin=-,
所以cos=cos=sin=-.
5.(2016江苏淮安高中段测,16)已知α∈,β∈,cos2β=-,sin(α+β)=.
(1)求cosβ的值;
(2)求sinα的值.
解析
(1)因为β∈,所以cosβ<
0.
又cos2β=2cos2β-1=-,
所以cosβ=-.
(2)根据
(1),得sinβ==.
而α∈,β∈,所以α+β∈,
又sin(α+β)=,
所以cos(α+β)=-=-.
故sinα=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
-×
6.(苏教必4,三,1,变式)函数y=sin+sin的最小值为 .
7.(苏教必4,三,1,变式)若0<
-<
β<
0,cos=,cos=,则cos= .
8.(2017江苏淮阴中学期中,5)(1+tan22°
)(1+tan23°
)= .
答案 2
9.(2017江苏南京高淳质检,11)设α为锐角,若cos=,则sin的值为 .
10.(2018江苏南通中学阶段练习)函数f(x)=2sin·
cosx.
(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;
(2)△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且c=2,f(C)=,若sinB=2sinA,求边a、b的值.
解析
(1)因为f(x)=2sincosx=sin2x-=sin-,所以函数f(x)的最大值f(x)max=,最小正周期T=π.
(2)因为f(C)=sin-=,所以sin=1,因为0<
C<
π,所以-<
2C-<
于是2C-=,所以C=.因为sinB=2sinA,所以b=2a,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos,即a2+b2-ab=12,由解得
11.(2018江苏如东中学学情检测)已知α,β都是锐角,且sinα=,tan(α-β)=-.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求cosβ的值.
解析
(1)因为α,β∈,所以-<
α-β<
又因为tan(α-β)=-<
0,所以-<
结合sin2(α-β)+cos2(α-β)=1,且=-,
得sin(α-β)=-.
(2)由
(1)可得,cos(α-β)==.
因为α为锐角,sinα=,所以cosα===.
所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)
12.(2018江苏扬州中学月考)已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈.
(1)求f(x)的值域;
(2)若△ABC的面积为,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且f(C)=,c=,求△ABC的周长.
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- 高中 学年 数学 高考 一轮 复习 第三 三角函数 34