复变函数电子版教案Word文档下载推荐.docx
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启发式教学法
讲授内容纲要、要求及时间分配
一、本人介绍
二、《复变函数与积分变换》课程的特点与学习方法
授课内容:
第一篇复变函数
第一章复数与复变函数
第一节复数
第二节复数的乘幂与方根
第三节平面点集
一、复数概念
1、复数的定义:
形式定义:
z=x+iy
三角表示:
指数表达式:
2、共轭复数:
设z=x+iy
则共轭复数
二、计算
1、复数的形式运算
设:
5分钟
10分钟
讲授内容纲要、要求及时间分配(附页)
2、相关性质
交换律、结合律、分配律
3、应用
例1证明
4、共轭复数的运算性质
例2证明
三、复数的几何表示
1、复平面z=x+iy(x,y)
2、复数的模及性质
3、复数的幅角
定义有实轴的正向到向量z之间的夹角称为复数z的幅角,记作
Argz
4、幅角主值:
argz
从而
例3求和
三、复数四则运算的几何意义
1、定理
定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积;
两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。
即:
定理2两个复数商的模等于它们模的商;
两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。
2、应用
例4求i,-2,1-的三角表达式
例5
四、扩充复平面
复数的球面表示、扩充复平面、复数,
一、复数的乘幂
二、复数的方根
三、应用
一、区域
1、邻域:
圆盘:
去心圆盘
2、相关概念:
内点:
、开集、边界点、边界、连通的、开区域(区域)、闭区域、有界集、无界集
二、曲线
1、简单曲线、简单闭曲线
2、光滑曲线、分段光滑曲线
三、单连通区域和多连同区域
四、小节:
本将主要讲述了,复数的概念及运算法则,要求会正确计算,并理解相关概念
五、作业习题一p25
1.1.31.1.61.1.181.1.191.2.31.3.31.4
姓名刘照军2010~2011学年第一学期时间2010-9-13节次1-3
复变函数与初等复变函数
定义、性质、特别是与对应实函数的比较
初等复变函数的形式定义与性质
无
初等函数、欧拉公式
一、复习提问
1、复数、复数的四则运算、复数的共轭
2、复数的模与幅角的定义与性质
3、复数的幂与方根
4、复数的邻域
二、作业讲评CT一1.2.3
第四节复变函数
1定义:
定义:
设D是一个给定的复数集,如果有一个法则f,总有确定的w和它对应,则称f是定义在D上的复变函数,记作w=f(z),数集D叫做这个函数的定义域。
,适合w=f(z),称为单值函数。
否则称其为多值函数。
2、复变函数的几何解释---映照
设则复变函数w=f(z)代表的是平面上的点集D到W平面上的点集G之间的一种变换,亦即是一种映照
例2-1试想映照
二、反函数与复合函数
1、反函数
定义:
设D是一个给定的复数集,如果有一个法则f,,总有确定的w和它对应,则称f是定义在D上的复变函数,记作w=f(z),反之,
,适合w=f(z),则称z是w的反函数,记为:
,G叫做这个函数的定义域。
•说明:
反函数未必是一一映射
2、复合函数
第五节初等函数
一、指数函数
1、定义:
2、性质:
例2-2例例
二对数函数
1、定义:
对数函数是指数函数的反函数
既,若则,可以推出
多值函数
单值函数
2、性质
例2-3求ln(-1)
例2-4计算lni;
Lni
例2-5计算ln(-3-4i);
Ln(-3-4i)
三、幂函数
其中α为复数常数,z为非零的复数变数
3、应用三、第五节:
初等函数
1、指数函数
2、对数函数
3、幂函数
4、三角函数与反三角函数****
特别注意:
性质中与实函数相异的地方
15分钟
例2-6求
例2-7求
四、三角函数
1、正弦函数、余弦函数****
性质:
2、其他三角函数
3、反三角函数
五、双曲函数与反双曲函数
六、本章总结
本章主要介绍了
(一)复数的定义、性质、运算法则、几何意义
(二)复数函数的概念,反函数、复合函数、及初等复数函数的定义、性质。
本章重点掌握内容:
定义、性质,会推导性质及各种反函数的形式表达式。
特别注意:
在学习时,要善于与相应的实函数的定义、性质比较,特别注意不同的地方,能够真正理解,并会证明。
七、作业CT一
1.4.4
1.5.71.5.16.1.5.191.5.20.d)
1.5.29
姓名刘照军2010~2011学年第一学期时间2010-9-20节次1-3
复变函数的极限、连续性、导数
掌握复变函数的极限、连续性、导数的判定方法,会计算导数
复变函数的极限、连续性、导数,连续与可导的判定定理
连续与可导的判定定理;
不连续点与不可导点的判定
与对应实函数的性质比较
1、复变函数的定义及几何意义
2、复变函数的反函数与复合函数
4、初等复变函数的定义、性质
二、作业讲评CT一1.5.29
第二章导数
第一节复变函数的极限
一、复变函数的极限概念
设f(z)在的某去心邻域D内有定义,若当有,则称常数A为其极限,记为
例3-1
例3-2
3、极限存在的充要条件****
定理3-1:
4、极限定义的扩充
例3-3
例3-4证明函数。
在时极限不存在。
二、极限运算法则
定理3-2复变函数的极限对于加、减、乘、除具有封闭性
第二节复变函数的连续性
一、复变函数的连续性
若,则称函数f(z)在处连续,若f(z)在区域D内处处连续,则称函数在区域D内连续。
2、复变函数连续的性质
1)定理3:
复变函数的连续性对于加、减、乘、除具有封闭性
2)定理4:
复变函数的连续性对于复合函数具有封闭性
3)定理5:
复平面上有界闭区域R上的连续函数w=f(z),它的模在R上一定有界
例3-5证明sinz,cosz,在整个复平面上是连续函数。
例3-6证明三角函数在定义域内均连续
第三节导数
一、定义
设f(z)在的某邻域D内有定义,若
存在,则称f(z)在处可导,记为:
2、可导复变函数的运算法则
定理6:
若f(z),g(z)在区域D内可导,则它们的可导性在定义域内对加、减、乘、除封闭
定理7:
可导性对复合函数封闭
定理8:
设是两个互为反函数的单值函数,且
则
二、应用
例3-7证明
讨论
结论:
1)连续函数未必可导
2)可导函数必然连续
例3-8计算导数
三、函数可导的充要条件****
1、定理9:
函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的充要条件是:
此定理非常重要,必须熟练掌握
定理9:
函数f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)在定义域内一点r=r(θ)可导的充要条件是:
四、高阶导数
对导函数继续求导数既为高阶导数
2、应用;
例3-10应用公式求
五、小结
1、复变函数的极限、连续性、可导性的运算法则
2、复变函数的连续性、可导性的判断法则
六、作业
2.1.32.152.2.12.3.52.3.11
姓名刘照军2010~2011学年第一学期时间2010-9-27节次1-3
解析函数与调和函数、习题课
掌握解析函数与调和函数的定义性质及应用
解析函数与调和函数的定义性质
解析函数的充要条件,调和函数的求法
实二元函数的定义、性质
1、复函数的极限、连续、导数的定义
2、复函数的极限、连续、导数存在判定定理
3、全微分
4、连续、可导、可微的关系
二、习题订正
2.3.5
第四节解析函数
第五节调和函数
如果函数f(z)不仅在z处可导,而且在z的某个邻域内任意点可导,则称f(z)在z处解析,如果函数在区域D内任意点解析,则称f(z)在区域D内解析。
若f(z)在不解析,则称该点为f(z)的奇点。
说明:
函数在区域D内任意点解析与函数在该区
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