数列通项公式的方法总结文档格式.docx
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②等比数列通项公式。
例2:
已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f(x)=(x-1)2,且a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q+1),b3=f(q-1),
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(1)∵a1=f(d-1)=(d-2)2,a3=f(d+1)=d2,∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d,
∴d=2,∴an=a1+(n-1)d=2(n-1);
又b1=f(q+1)=q2,b3=f(q-1)=(q-2)2,
∴=q2,由q∈R,且q≠1,得q=-2,∴bn=b·
qn-1=4·
(-2)n-1
(3)公式法:
已知(即)求,用作差法:
。
例:
3:
(07重庆21题)已知各项均为正数的数列{}的前n项和为满足>1且6=
n∈求{}的通项公式。
由=解得=1或=2,由已知>1,因此=2又由=得
=0∵>0∴
从而{}是首项为2,公差为3的等差数列,故{}的通项为=2+3(n-1)=3n-1.
小扩展:
已知求,用作商法:
(3)迭加法:
若求:
例4:
已知数列满足,,求。
由条件知:
分别令,代入上式得个等式累加之,即
所以
,
(4)迭乘法:
已知求,用累乘法:
例5.设是首项为1的正项数列,且,求它的通项公式.
解析:
由题意
∴
∵,∴,
∴,
∴,又,
∴当时,,
当时,符合上式
∴.
(5)倒数法:
形如的递推数列都可以用倒数法求通项
例6:
已知数列{},=,,求=?
把原式变形得两边同除以得
∴是首项为,d=的等差数列故∴。
(6)构造等比数列法:
)
(1)递推公式为(其中p,q均为常数,)。
解法:
把原递推公式转化为:
,其中,再利用换元法转化为等比数列求解。
(2)递推公式为(其中p,q均为常数,)。
(或,其中p,q,r均为常数)
该类型较类型3要复杂一些。
一般地,要先在原递推公式两边同除以,得:
引入辅助数列(其中),得:
再应用类型3的方法解决。
(3)递推公式为(其中p,q均为常数)
先把原递推公式转化为
35
2.(2010安徽)(5)设数列的前n项和,则的值为
(A)15(B)16(C)49(D)64
3.(2011年高考四川)数列的首项为,为等差数列且.若则,,则()A)0(B)3(C)8(D)11
4.(2011年高考全国卷设为等差数列的前项和,若,公差,,则A)8(B)7(C)6(D)5
5.(2009广东卷理)已知等比数列满足,且,则当时,
A.B.C.D.
6.(2009陕西卷)设等差数列的前n项和为,若,则
7.(2011广东卷)等差数列前9项的和等于前4项的和.若,则
8.则其通项为
9(2009宁夏海南卷理)等差数列{}前n项和为。
已知+-=0,=38,则m=_______
10.重庆卷理)设,,,,则数列的通项公式=
11.等差数列是递增数列,前n项和为,且成等比数列,.求数列的通项公式.
12已知数列的前项和满足.求数列的通项公式。
13已知数列满足,求数列的通项公式。
14已知数列满足,求数列的通项公式。
15已知数列满足,求数列的通项公式。
16知数列满足,求数列的通项公式。
17已知数列满足,求数列的通项公式。
18已知数列满足,求数列的通项公式。
答案及详解
1.【答案】C
【解析】本题考查了数列的基础知识。
∵,∴
2.【答案】A
【解析】.
【方法技巧】直接根据即可得出结论.
3.答案:
B
解析:
由已知知由叠加法.
4【答案】D
【解析】
故选D。
5【解析】由得,,则,,选C.
6解析:
由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n.
答案:
2n
7【答案】10
【解析】由题得
8解:
取倒数:
是等差数列,
9解析由+-=0得到。
答案10
10解析由条件得且所以数列是首项为4,公比为2的等比数列,则
11解:
设数列公差为
∵成等比数列,∴,
即
∵,∴………………………………①
∵∴…………②
由①②得:
∴
点评:
利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
12解:
由
当时,有
……,
经验证也满足上式,所以
13解:
由得则
14解:
因为,所以,则,故
所以数列的通项公式为
15解:
设④
将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得⑤
由及⑤式得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故
16解:
由及,得
由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当时,,所以等式成立。
(2)假设当时等式成立,即,则当时,
由此可知,当时等式也成立。
根据
(1),
(2)可知,等式对任何都成立。
17解:
令,则
故,代入得
因为,故
则,即,
可化为,
所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得
18解:
令,得,则是函数的不动点。
因为,所以
评注:
本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。
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