全国高中数学联赛b卷试题及答案Word文档格式.docx
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而,从而
2.设,则平面点集的面积为.
7.
点集如图中阴影部分所示,其面积为
3.已知复数满足(表示的共轭复数),则的所有可能值的积为.
3.
设由知,
比较虚、实部得又由知,从而有
即,进而
于是,满足条件的复数的积为
4.已知均为定义在上的函数,的图像关于直线对称,的图像关于点中心对称,且,则的值为.
2016.
由条件知
①
②
由图像的对称性,可得结合①知,
③
由②、③解得从而
因为
,①
所以
因为的图像关于直线对称,所以
又因为的图像关于点中心对称,所以函数是奇函数,,,从而
④
将③、④代入①,再移项,得
⑤
在⑤式中令,得
⑥
由②、⑥解得于是
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子中,恰有两个球放在同一盒子的概率为.
样本空间中有个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
过所求的概率为
6.在平面直角坐标系中,圆关于直线对称的圆为则直线的方程为.
的标准方程分别为
由于两圆关于直线对称,所以它们的半径相等.因此解得故的圆心分别是直线就是线段的垂直平分线,它通过的中点,由此可得直线的方程是
7.已知正四棱锥-的高等于长度的一半,是侧棱的中点,是侧棱上点,满足,则异面直线所成角的余弦值为.
如图,以底面的中心为坐标原点,的方向为轴的正向,
建立空间直角坐标系.不妨设此时高从而
由条件知,因此
设异面直线所成的角为,则
8.设正整数满足,且.这样的的个数为.这里,其中表示不超过的最大整数.
由于对任意整数,有
等号成立的充分必要条件是,结合知,满足条件的所有正整数为共有个.
首先注意到,若为正整数,则对任意整数,若,则这是因为,当时,,这里是一个整数,故
因此,当整数满足时,
容易验证,当正整数满足时,只有当时,等式才成立.而,故当时,满足正整数的个数为
二、解答题:
(共3小题,共56分)
9.(16分)已知是各项均为正数的等比数列,且是方程
的两个不同的解,求的值.
解对,有即
因此,是一元二次方程的两个不同实根,从而
即
由等比数列的性质知,
10.(20分)在中,已知
(1)将的长分别记为,证明:
;
(2)求的最小值.
解
(1)由数量积的定义及余弦定理知,
同理得,故已知条件化为
(2)由余弦定理及基本不等式,得
等号成立当且仅当因此的最小值为
11.(20分)在平面直角坐标系中,双曲线的方程为.求符合以下要求的所有大于的实数:
过点任意作两条互相垂直的直线与,若与双曲线交于两点,与交于两点,则总有成立.
解过点作两条互相垂直的直线与
易知,与交于点(注意这里),与交于点由条件知,解得
这意味着符合条件的只可能为
下面验证符合条件.
事实上,当中有某条直线斜率不存在时,则可设,就是前面所讨论的的情况,这时有若的斜率都存在,不妨设
注意这里(否则将与的渐近线平行,从而与只有一个交点).
联立与的方程知,即
这是一个二次方程式,其判别式为.故与有两个不同的交点.同样,与也有两个不同的交点由弦长公式知,
用代替,同理可得于是
综上所述,为符合条件的值.
加试
一、(40分)非负实数和实数满足:
(1);
(2)是奇数.
求的最小值.
由已知条件
(1)可得:
于是(注意)
不妨设则
若,并且令
则于是
由条件
(2)知,是奇数,所以是奇数,这与矛盾.
因此必有,或者则
于是结合①得
又当时满足题设条件,且使得不等式等号成立,所以的最小值为1.
二、(40分)设是正整数,且是奇数.已知的不超过的正约数的个数为奇数,证明:
有一个约数,满足
证明:
记,,则的不超过的正约数的集合是
若结论不成立,我们证明
对,因为是奇数,故,又,而没有在区间中的约数,故,即,故
反过来,对,设,则,是奇数,又,故从而
所以故的不超过的正约数的个数为偶数,与已知矛盾.从而结论成立.
三、(50分)如图所示,是平行四边形,是的重心,点在直线上,使得证明:
平分
连接,与交于点由平行四边形的性质,点是的中点.因此,
点在线段上.
由于,所以四点共圆,并且其外接圆是以为直径的圆.由相交弦定理知
取的中点注意到故有
因此关于点对称.于是
结合①、②,有,因此四点共圆.
又所以,即平分
四、(50分)设是任意一个11元实数集合.令集合求的元素个数的最小值.
先证明考虑到将中的所有元素均变为原来的相反数时,集合不变,故不妨设中正数个数不少于负数个数.下面分类讨论:
情况一:
中没有负数.
设是中的全部元素,这里于是
上式从小到大共有个数,它们均是的元素,这表明
情况二:
中至少有一个负数.
设是中的全部非负元素,是中的全部负元素.不妨设
其中为正整数,,而,故于是有
它们是中的个元素,且非正数;
又有
它们是中的7个元素,且为正数.故
由此可知,
另一方面,令则
是个17元集合.
综上所述,的元素个数的最小值为
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