浦东初一数学补习班东南数理化因式分解授课讲义及习题Word格式.docx
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(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
333222
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
三、分组分解法.
(1)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
amanbmbn
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从
“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解:
原式=(aman)(bmbn)
=a(mn)b(mn)k每组之间还有公因式!
=(mn)(ab)
例2、分解因式:
2ax10ay5bybx解法一:
第一、二项为一组;
第三、四项为一组。
原式=(2ax10ay)(5bybx)
=2a(x5y)b(x5y)
=(x5y)(2ab)
练习:
分解因式1、a2abacbc
练习:
(1)
3x
2
xy
23
xyy
(
2)
2,2
axbx
bxax
ab
(3)
2x
6xy
9y2
16a28a1
(4)
2a
6ab12b
9b2
4a
(5)
4a
2a3
a2
9
(6)4a2x
4a2y
22
bxby
(7)
2xy
xz
yzy
(8)a2
2a
b2
2b2ab
1
(9)
y(y
(m
1)(m1)
(10)
(a
c)(
ac)b(b
2a)
东南数理化
四、十字相乘法•
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)—次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式:
x25x6分析:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6),从中可以发现只有2X3的分解适合,即2+3=5。
1■2
x25x6=x2(23)x233_
=(x2)(x3)1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
x27x6
原式=x2[
(1)(6)]x
(1)(6)
=(x1)(x6)
(-1)+(-6)=-7
练习5、
分解因式
(1)x24x5
⑵a215a36
(3)x14x24
(4)x11x24
练习6
分解因式
(1)x2x2
⑵x2x15
⑶x210x24
⑶x22x24
(二)二次项系数不为1的二次三项式ax2bxc
条件:
a
a1a2
a1.c
(2)
c
C1C2
a2c2
b
C2a2C1
ba〔C2a?
"
分解结果:
ax
bxc=(a1x
cJdxC2)
例7、分解因式:
3x211x10
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11解:
3x11x10=(x2)(3x5)
练习7、分解因式:
(1)5x27x6
(2)3x7x2
6y11y10
(3)10x217x3(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式例&
分解因式:
a28ab128b2
分析:
将b看成常数,
把原多项式看成关于
a的二次三项式,利用十字相乘法进行分解
8b-16b
a28ab
8b+(-16b)=-8b
128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)
例9、2x27xy6y2
1-2y
2>
^-3y(-3y)+(-4y)=-7y
原式=(x2y)(2x3y)练习9、分解因式:
(1)15x2
=(a8b)(a16b)
练习8、分解因式⑴x23xy2y2
(2)m26mn8n2
⑶aab6b
(4)二次项系数不为1的齐次多项式
例10、x2y23xy2把xy看作一个整体1-1
-2
(-1)+(-2)=-3解:
原式=(xy1)(xy2)7xy4y2
(2)a2x26ax8
练习
10、
8x6
7x31
(2)12x2
11xy
15y2
(x
y)2
3(x
y)10
(4)(ab)
4b3
(7)x24xy4y22x4y3
(9)4x24xy6x3yy210
2222
(8)5(ab)23(ab)10(ab)
(10)12(xy)211(x2y2)2(xy)2
五、换元法。
例13、分解因式
(1)2016x2(201621)x2016
(2)(x1)(x2)(x3)(x6)x
(1)设2016=a,则原式=ax2(a21)xa
=(ax1)(xa)
=(2016x1)(x2016)
(2)型如abcde的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
原式
=(x2
7x6)(x5x6)x
设x2
5x
6A,贝Ux27x6A2x
原式=
(A
2x)Ax2=A22Axx2
=
222
x)=(x6x6)
六、添项、拆项、配方法。
例14、分解因式
(1)x3x24
解法1——拆项。
原式=x313x23
=(x1)(x2x1)3(x1)(x1)
=(x1)(x2x13x3)
=(x1)(x24x4)
=(x1)(x2)2
解法2——添项。
原式=x33x24x4x4=x(x23x4)(4x4)
=x(x1)(x4)4(x1)
练习14、分解因式
(2)x47x21
(1)(x1)4(x21)2(x1)4
初一数学东南数理化初中数学教研组
因式分解知识总结归纳
因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,学习本章知识时,应注意以下几点。
1.因式分解的对象是多项式;
2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式;
3.分解因式,必须进行到每一个因式都不能再分解为止;
4.公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式;
5.结果如有相同因式,应写成幕的形式;
6.题目中没有指定数的范围,一般指在有理数范围内分解;
7.因式分解的一般步骤是:
(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式;
如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解;
(2)若上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等方法;
下面我们一起通过例题来回顾本章所学的内容。
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式
这是一个六项式,很显然要先进行分组,此题可把分别
看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后,再进一步分解;
也可把,,
分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解。
解一:
2.通过变形达到分解的目的
将拆成,则有
解二:
将常数拆成,则有
3.在证明题中的应用
例:
求证:
多项式的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数。
证明:
设,则
4.因式分解中的转化思想
分解因式:
本题若直接用公式法分解,过程很复杂,观察a+b,b+c与a+2b+c的关系,努
力寻找一种代换的方法。
设a+b=Ab+c=B,a+2b+c=A+B
I娠南数理化
初中数学教研组
说明:
在分解因式时,灵活运用公式,对原式进行“代换”是很重要的
综合练习题
(一)
一、填空题
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=_•
4、分解因式:
x4x4=
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为
6、若xy5,xy6,贝yx2yxy2=,2x22y2=
二、选择题
32223
7、多项式15mn5mn20mn的公因式是()
A、5mnb、5m2n2C、5m2nd、5mn2
8下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
Aa3a3a9bababab
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11•把(x-y)2—(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B•(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10abc+6ac+2ac=2ac(5b+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+
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