电大高等数学基础形成性考核手册答案.docx
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电大高等数学基础形成性考核手册答案
高等数学基础形考作业1:
第1章函数
第2章极限与连续
(一)单项选择题
⒈下列各函数对中,(C)中的两个函数相等.
A.f(x)(x)2,g(x)xB.f(x)x2,g(x)x
3
C.f(x)lnx,g(x)3lnx
D.f(x)x1,g(x)
x21
x1
⒉设函数f(x)的定义域为(
),则函数
f(x)f(x)的图形关于(
对称.
B.x轴D.
A.坐标原点
C.y轴
⒊下列函数中为奇函数是(B).
B.f(x)在点x0的某个邻域内有定义
D.limf(x)limf(x)
xx0xx0
A.limf(x)f(x0)xx0
C.limf(x)f(x0)xx0
二)填空题
⒈函数f(x)
x29
ln(1x)的定义域是3,
⒉已知函数
f(x
1)
x2
x,则
f(x)
2
x2-x
⒊lim(1
x
21x)
1
e2.
⒋若函数
f(x)
(1
1
x)x
k,
0,在
0
x0处连续,则ke
⒌函数y
1,
sinx,
0的间断点是
0
0.
⒍若lim
xx0
f(x)A,
则当
xx0时,
f(x)
A称为xx0时的无穷小量。
(三)计算题
⒈设函数
f(x)
x0
x,
x0
求:
f(
2),f(0),
f
(1)
解:
f
2,
f0
⒉求函数
lg
2x
1的定义域.
x
2x
解:
y
lg
2x
1有意义,要求
x
解得
x0
1或x
2
0
则定义域为x|x0或x1
2
⒊在半径为R的半圆内内接一梯形,示成其高的函数.
解:
梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上,试将梯形的面积表
设梯形ABCD即为题中要求的梯形,设高为h,即OE=h,下底CD=2R
⒋求
解:
⒌求
解:
⒍求
解:
⒎求
解:
直角三角形AOE中,利用勾股定理得
AEOA2
OE2R2
h2
则上底=2AE
h
故Shg2R
2sin3xlim.x0sin2x
lxim0
sin3x
sin2x
x2
2R2h2
2R2h2
sin3x
3xlim3xx0sin2x
0sin2x
2x
2x
RR2
sin3xlim3xx0sin2x2x
h2
lim
x1sin(x1)
x21limx1sin(x
tan3xlimx0x
tan3xlimx0x
1)
2
1xlimx0sinx
1)(x
lim(x
x1sin(x1)
sin3xlimx0
g1
xcos3x
1x21lim
x0sinx
x1x
⒏求lxim(xx13)x.
解:
lxim(xx13)x
xx3
⒐求
解:
1)
lxim1sin(x1)
11
sin3xlimx03x
cos3x
(1x21)(1x21)limx0(1x2
lim
x0
(1
1lim(x
3x)x
limx226x
x4x25x4
lxim4
2
x26x8
x25x4
⒑设函数
sinx
1)
x
1)sinx
0
1
lim
x
(1
(1
lim
x4x4x1
lxim0
(1
2
x
2
x
1)sinx
1x)x
x
3x
3)x
x
lim
x
1x1
[(11)x]1x1xx)3x]3x
3
[(1
1
e
3
e
lim
x4x1
2
(x2)2,x1f(x)x,1x1
x1,x1讨论f(x)的连续性。
解:
分别对分段点x1,x1处讨论连续性
1)
limfx
limx
1
x1
x1
limfx
limx
1
110
x1
x1
所以limf
xlim
fx
,即fx在x1处不连续
x1
x1
2)
2
2
limfx
limx
22
1221
x1
x1
limfx
limx
1
x1
x1
f11
所以limf
xlimf
x
f1即fx在x1处连续
x1
x1
由(
1)
(2)得f
x在除点
x
1外均连续
高等数学基础作业2答案:
h0
2h
A.2f(x0)
B.f(x0)
C.2f(x0)
D.f(x0)
⒊设f(x)ex,则lim
f(1
x)f
(1)(A)
x0
x
1
1
A.eB.2eC.
e
D.e
2
4
⒋设f(x)x(x1)(x
2)
(x99),则f(0)
f(x0
2h)f(x0)
可导,则lim
D).
在x0
⒉设
D).
A.99
B.99
C.99!
D.99!
⒌下列结论中正确的是(C).
A.若f(x)在点
x0有极限,则在点x0可导.
B.若
f(x)在点x0连续,则在点x0可导.
C.若f(x)在点
x0可导,则在点x0有极限.
D.若
f(x)在点x0有极限,则在点x0连续.
二)填空题
⒈设函数f(x)
21
xsin,x0
x,则
0,x0
f(0)
x
⒉设f(ex)
2x
e
5ex,则df(lnx)2lnx5dx
⒊曲线
f(x)
x1在(1,2)处的切线斜率是k1
2
⒋曲线
f(x)
π
sinx在(2,1)处的切线方程是
⒌设y
x2x,则y2x2x(1lnx)
⒍设y
1
xlnx,则y
x
三)计算题
⒈求下列函数的导数y:
⑴y
(xx3)ex
解:
yxx3ex
xx3ex
3
(x23)ex
3x2ex
2
⑵y
2
cotxx
ln
解:
cotx
lnxx
lnx
2
cscx
2xlnx
⑶y
2
x
lnx
解:
x2ln
xx2lnxln2x
2xln
x
ln2x
2x
⑷y
解:
x3x3cosx2xcosx2x
32
x
x(sinx2xln2)3(cosx2x)
⑸y
lnx
sinx
解:
lnx
sinxlnxx2sinx
2
sinx
sinx(1
x
2
2x)(lnxx)cosx
sin
⑹y
sinxlnx
解:
sinx
lnxsinxlnx
4x3
sinxcosxlnx
sinx
2
解:
y
⑻y
x
etanx
lnx
解:
y
xe
tanx
⒉求下列函数的导数y
⑴y
xe
解:
y
xe
e
1
x
xe
⑺y
x3x
23x
2x
sinxx3x2
3x
3x(cosx2x)(sin
xx2)3xln3
tanx
lnxextan
1x
2xe
x
e
2
cosx
⑵y
lncosx
sinx
sinx
32x
1
解:
y
解:
y
x8
tanxcos
7x8
8
⑷y
sin2x
解:
y
2sinxsinx2sinxcosx
2sin2x
⑸y
2
sinx
解:
y
2
cosx
2x
2xcosx
⑹y
2
x
cose
解:
y
2
x
sine
2
2xex
2
x
sine
⑺ysinnxcosnx
解:
y
n
sinxcosnx
nn1n
sinxcosnxnsinxcosxcosnxnsinxsin(nx)
⑻y
5sinx
解:
y
sinx
5ln5
cosx
sinx
ln5cosx5
⑼y
cosx
e
解:
y
cosx
e
sin
cosxsinxecosx
⒊在下列方程中,y
y(x)是由方程确定的函数,求y:
⑴ycosxe2y
解:
cosxysin
2e2yy
ysinx
cosx2e2y
⑵y
cosylnx
解:
siny.ylnx
1cosy.
x
cosy
x(1sinylnx)
2
x
⑶2xsiny
2yx
解:
2xcosy.y2siny
2
xy
2
y
2
y(2xcosy2)
y2
2xy2ysiny
2yy2x2sinyy2xy2cosyx2
y2xycosyx
解:
y
1y
⑸lnx
ey
解:
1
x
eyy
2yy
x(2y
1
ey)
⑹y2
x
esiny
解:
2yy
x
ecosy.y
sin
x
y.e
x
esiny
2yex
cosy
⑺ey
解:
eyy
3y2y
xeey
3y2
⑻y5x
2y
解:
y5xln5
y
y2
ln2
5xln5
12yln2
⒋求下列函数的微分
dy:
注:
dy
ydx)
⑴y
cotxcscx
解:
csc2
xcscxcotx
dy(cos12x
cosx
cosx
2)dxsinx
⑵y
lnx
sinx
解:
1
sinxlnxcosx
x
2
sinx
dy
1
sinx
x
lnxcosx
dx
2
sinx
⑶y
2
sinx
解:
y
2sinxcosx
dy
2sinxcosxdx
⑹y
tanex
解:
y
2xxsecee
dy
sec2exexdx
exsec2exdx
⒌求下列函数的二阶导数:
解:
y
1?
2
14x2
⑵y
3x
解:
y
3xln3
ln3
3x
ln3
ln233x
⑶y
解:
y
⑷y
lnx
1y
xxsinx
解:
y
sinx
xcosx
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