北京市顺义区高二下学期期末考试数学试题含答案解析Word文档下载推荐.docx
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3
4
5
P
0.1
A
0.3
0.2
则P(1≤X≤3)等于( )
A.0.4B.0.5C.0.6D.0.7
7.已知a∈R,复数z1=3+a2i,z2=3+(3a﹣2)i,则“a=1”是“z1=z2”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
8.若a>0>b>c,则下列不等式中恒成立的是( )
A.<B.a2>b2C.ac>bcD.>
9.已知函数f(x)=ax﹣2lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,]B.[,+∞)C.(﹣∞,2]D.[2,+∞)
10.已知函数f(x)=ex,g(x)=﹣x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,给出下列三个结论:
①对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;
②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n<0;
③对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n.
其中,所有正确结论的序号是( )
A.①B.①③C.②③D.①②③
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分
11.若复数z满足z(1﹣i)=i,则z= .
12.若x∈(0,+∞),则x+的取值范围是 .
13.一批产品的次品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的次品件数,则E(X)= .
14.已知函数f(x)=x3﹣3x+1,则f(x)在区间[﹣3,2]上的最小值为 .
15.已知a∈R,设函数f(x)=,若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,则a的取值范围是 .
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程.
16.已知复数z=a﹣i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数.
(Ⅰ)求复数z及|z|;
(Ⅱ)在复平面内,若复数(z﹣mi)2(m∈R)对应点在第二象限,求实数m的取值范围.
17.顺义某商场举行有奖促销活动,顾客购买满一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有8个红球、4个黑球的甲箱和装有6个红球、6个黑球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;
若只有1个红球,则获二等奖,若没有红球,则不获奖.
(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.
18.已知函数f(x)=x2﹣lnx.
(Ⅰ)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求函数y=f(x)的极值.
19.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的重量(单位:
克),重量的分组区间为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列;
(Ⅲ)用这40件产品组成的样本中各组产品出现的频率估计概率,现在从流水线上任取3件产品,求恰有2件产品的重量超过505克的概率.
20.已知函数f(x)=(a﹣x)lnx+x﹣1,其中a∈R.曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为﹣1.
(Ⅱ)求证:
f(x)≤0.
21.已知函数f(x)=++mlnx.
(Ⅰ)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数m的取值范围.
参考答案
1.【分析】根据共轭复数的定义求出共轭复数,结合复数的几何意义进行判断即可.
解:
复数z=2+i的共轭复数=2﹣i,
则对应点的坐标为(2,﹣1),
该点位于第四象限,
故选:
D.
2.【分析】原不等式可化为(x﹣1)(x+2)≤0,结合二次函数的图象可得答案.
不等式x2+x﹣2≤0可化为(x﹣1)(x+2)≤0,
解之可得﹣2≤x≤1,故解集为{x|﹣2≤x≤1}
A.
3.【分析】求出函数f(x)=x3﹣4x的导函数,由导函数等于0求得导函数的零点,由导函数的零点对函数的定义域分段,根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性,从而得到函数的极值点.
由f(x)=x3﹣4x,
得:
f′(x)=x2﹣4.
由f′(x)=x2﹣4>0,得:
x<﹣2,或x>2.
由f′(x)=x2﹣4<0,得:
﹣2<x<2.
所以,函数f(x)的增区间为(﹣∞,﹣2),(2,+∞).函数f(x)的减区间为(﹣2,2).
所以,x=﹣2是函数的极大值点,x=2是函数的极小值点.
C.
4.【分析】根据题意,分2步进行分析:
先在4个人中任选3个人,再将选出的3人全排列,安排去完成3项不同的工作,由分步计数原理计算可得答案.
根据题意,先在4个人中任选3个人,有C43种选法,
再将选出的3人全排列,安排去完成3项不同的工作,有A33种情况,
则有C43×
A33=24种安排方法;
B.
5.【分析】先求出通项公式,再令x的指数为4即可求解结论.
∵二项式(2﹣x)6的展开式的通项公式为:
Tr+1=•26﹣r•(﹣x)r;
令r=4可得:
•26﹣4•(﹣1)4=15×
4×
1=60;
6.【分析】根据概率之和为1计算A,再计算P(1≤X≤3).
由概率之和等于1可知A=0.2,
∴P(1≤X≤3)=0.1+0.2+0.3=0.6.
7.【分析】根据复数相等的条件求出a的值,再根据充分条件,必要条件的定义即可判断.
复数z1=3+a2i,z2=3+(3a﹣2)i,
若“z1=z2”,则a2=3a﹣2,解得a=1或a=2,
∴“a=1”是“z1=z2”的充分而不必要条件,
8.【分析】直接利用不等式的性质的应用和赋值法的应用求出结果.
①由于a>0>b,故,故选项A错误.
②当a=1,b=﹣2时,a2<b2,故选项B错误.
③由于a>0>b>c,所以ac<bc,故选项C错误.
④由于a>0>b>c,所以,故选项D成立.
9.【分析】求出函数的导数,利用导函数的符号,结合单调区间,求解即可.
∵函数y=ax﹣2lnx在(1,+∞)内单调递增,
∴当x>1时,y′=a﹣≥0恒成立,
即a≥,∴a≥2,
即a的取值范围为[2,+∞),
10.【分析】运用指数函数的单调性,即可判断①;
由二次函数的单调性,即可判断②;
通过函数h(x)=﹣x2+ax﹣ex,求出导数判断单调性,即可判断③;
对于①,由于e>1,由指数函数的单调性可得f(x)在R上递增,即有m>0,则①正确;
对于②,由二次函数的单调性可得g(x)在(﹣∞,﹣)递减,在(﹣,+∞)递增,则n>0不恒成立,则②错误;
对于③,由m=n,可得f(x1)﹣f(x2)=g(x1)﹣g(x2),即为g(x1)﹣f(x1)=g(x2)﹣f(x2),
考查函数h(x)=﹣x2+ax﹣ex,h′(x)=﹣2x+a﹣ex,当a→﹣∞,h′(x)小于0,h(x)单调递减,则③错误;
11.【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.
由z(1﹣i)=i,得z=,
故答案为:
.
12.【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.
因为x>0,
则x+≥2=4,当且仅当x=即x=2时取等号,此时取得最小值4,
则x+的取值范为[4,+∞).
[4,+∞).
13.【分析】推导出X~B(100,0.03),由此利用二项分布的性质能求出E(X).
∵一批产品的二等品率为0.03,从这批产品中每次随机取一件,
有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,
∴X~B(100,0.03),
∴E(X)=100×
0.03=3.
3.
14.【分析】求出导函数,判断函数的单调性,求出函数的极值,求出端点值,比较即可求出最值.
由于f(x)=x3﹣3x+1,
∴f'
(x)=3x2﹣3=3(x+1)(x﹣1)
∵f'
(x)>0,得到x>1,x<﹣1,
∴f(x)在[﹣3,﹣1)上是增函数,f(x)在(1,2]上是增函数,
而x∈(﹣1,1),f'
(x)<0,
∴f(x)在(﹣1,1)上是减函数;
可得f(﹣3)=﹣27+9+1=﹣17,f
(1)=1﹣3+1=﹣3,f(﹣1)=﹣1+3+1=3,f
(2)=8﹣6+1=3,
∴f(x)在区间[﹣3,2]上的最小值为﹣17.
﹣17.
15.【分析】分2段代解析式后,分离参数a,再构造函数求最值可得.
当x≤1时,f(x)=x2﹣3x+2a≥0等价于a≥恒成立,
令g(x)==﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣)2+,其中x≤1,则g(x)max=1即此时a≥1
当x>1时,f(x)=x﹣alnx≥0等价于a≤恒成立,
令h(x)=,则h′(x)==,
当x>e时,h′(x)>0,h(x)递增,
当1<x<e时,h′(x)<0,h(x)递减,
∴x=e时,h(x)取得最小值h(e)=e,
∴a≤h(x)min=e,
综上:
a的取值范围是[1,e].
[1,e].
16.【分析】
(Ⅰ)把z=a﹣i(a∈R)代入z(1+i),利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为0且虚部不为0列式求解a值,则z可求,再由复数模的计算公式求|z|;
(Ⅱ)把z=a﹣i(a∈R)代入(z﹣mi)2(m∈R),展开后由实部小于0且虚部大于0列不等式组求解.
(Ⅰ)∵z=a﹣i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数,
∴(a﹣i)(1+i)=(a+1)+(a﹣1)i是纯虚数,
则,即a=﹣1.
∴z=﹣1﹣i,|z|=;
(Ⅱ)(z﹣mi)2=[﹣1﹣(m+1)i]2=1﹣(m+1)2+2(m+1)i,
由题意可得,解得m>0.
∴实数m的取值范围是(0,+∞).
17.【分析】记“甲箱中摸出红球”为事件A,“乙箱中摸出红球”为事件B,根据古典概型可求出P(A)和P(B).
(Ⅰ)由相互独立事件的概率即可得解(或从对立事件的角度考虑也可);
(Ⅱ)先求出“在一次抽奖中,获得一等奖的概率”,随机变量X~B(3,),X的所有可能取值为0,1,2,3,然后根
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