二次根式基础专题教学提纲Word格式.docx
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有理化因式确定方法如下:
1单项二次根式:
利用来确定,如:
,,与等分别互为有理化因式。
2②两项二次根式:
利用平方差公式来确定。
如与,,分别互为有理化因式。
例.写出一个无理数,使它与3的积为有理数_____________;
分母有理化的方法与步骤:
先将分子、分母化成最简二次根式;
将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
二次根式的乘除
1.积的算术平方根的性质:
积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。
=·
(a≥0,b≥0)
2.二次根式的乘法法则:
两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。
·
=.(a≥0,b≥0)
3.商的算术平方根的性质:
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=(a≥0,b>
0)
4.二次根式的除法法则:
两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。
=(a≥0,b>
二次根式的加减
需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
二次根式的混合计算与求值
1、确定运算顺序;
2、灵活运用运算定律;
3、正确使用乘法公式;
4、大多数分母有理化要及时;
5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化;
根式比较大小
1、根式变形法当时,①如果,则;
②如果,则。
2、平方法当时,①如果,则;
3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时,经常运用如下性质:
①;
②
8、求商比较法 它运用如下性质:
当a>
0,b>
0时,则:
②
例1.比较大小:
-3___________-2;
例2.已知a、b为两个连续整数,且a<<b,则a+b=_________;
二次根式的概念
形如()的式子叫做二次根式。
注:
在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:
因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式。
例1.下列各式一定不是二次根式的是()
A、B、C、D、
例2.下列与是同类二次根式的是()
A.B.C.D.-1
1.判断下列各式哪些是二次根式( )
(1);
(2)
2.写出下列各等式成立的条件
(1)
(3)
(4)
(5)
例2.下列式子是最简二次根式的是()
1.下列根式中不是最简二次根式的是…………………………………………………()
A.B.C.D.
2.如果最简二次根式与是同类二次根式,那么a的值是________;
取值范围
1.
二次根式有意义的条件:
由二次根式的意义可知,当a≧0时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2.
二次根式无意义的条件:
因负数没有算术平方根,所以当a﹤0时,没有意义。
例.若,则x的取值范围是
1.当x 时,有意义。
2.当x<2时,=
3.若,则a应是()
A、负数B、正数C、非零实数D、有理数
4.二次根式中,字母a的取值范围是()
A、a<1B、a≤1C、a≥1D、a>1
5.若使代数式有意义,则x的取值范围是()
A、x≠2B、x≥2C、x>2D、x≤4
6.若化简︱1-x︱-的结果为2x-5,则x的取值范围是()
A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4
7.x为何值时,下列各式在实数范围内有意义
8.二次根式中,字母a的取值范围是…………………………………………()
A.a<1B.a≤1C.a≥1D.a>1
9.已知是正整数,则实数n的最大值为………………………………………()
A.12B.11C.8D.3
10.使式子无意义的x取值的是______________;
二次根式()的非负性
()表示a的算术平方根,也就是说,()是一个非负数,即0()。
因为二次根式()表示a的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负数()的算术平方根是非负数,即0(),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、偶次方类似。
例.若,则a= ,b=
1.若,则a= ,b=
2.若=成立,则x满足________________;
3.已知x、y是实数,且满足y=++1
(1)求x和y的值;
(2)求的值。
二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:
一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
二次根式的性质公式()是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用:
若,则.
例.如,则 ;
1.已知一个正数的平方根是2x-6和x+3,则这个数是___________;
2.把二次根式3中根号外的因数移到根号内,结果是______________;
一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即;
若a是负数,则等于a的相反数-a,即;
例.=
1.中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义;
2.化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
3.如果,求y-2x的算术平方根。
4.已知,求x的取值范围。
5.若=3-b,则()
A.b>3B.b<3C.b≥3D.b≤3
与的异同点
1、不同点:
与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;
在中,而中a可以是正实数,0,负实数。
但与都是非负数,即,。
因而它的运算的结果是有差别的,
,而
2、相同点:
当被开方数都是非负数,即时,=;
时,无意义,而
例.若a<0,则化简为()
A、B、-C、D、-
1.当a 时,
二次根式的乘除法
基础知识
1.计算:
2.
3.计算:
______.
4.使等式成立的条件是。
5.当,时,。
6、若=-x,则x的取值范围是。
7.化简二次根式得()
A.B.C.D.30
8.若,则()
A.B.C.D.
9.下列名式中计算正确的是()
A.B.
C.D.
10.若,则化简后为()
A.B.C.D.
11.计算:
(1)
(2)3 (3) (4)
12.化简:
(1)
(2)(3)(4)
能力提升
14.当a=时,则______.
15.把的根号外的因式移到根号内等于。
16.已知=-x,则( )
(A)x≤0 (B)x≤-3 (C)x≥-3 (D)-3≤x≤0
17.和的大小关系是()
A.B.C.D.不能确定
18.计算:
(1)(a≥0)
(2)(x≥0,y≥0)
(3)(x≥0,y≥0)
19.化简:
(1)(a≥0,b≥0)
(2)(x≥0,y≥0) (3)(ab≥0)
能力拓展与探究
20.(2006安徽省)计算2-的结果是()
A.1B.-1C.-7D.5
21.(2007芜湖市)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的边长为()
A.cmB.4cmC.cmD.3cm
基础知识1
1.把下列各式化成最简二次根式:
(1)=
(2)= (3)=
(4)= (5)= (6)=
2.判断正误:
对的画“√”,错的画“×
”.
()
(2);
(3);
()
(4);
(5);
(6).()
3.计算:
=
基础知识2
1.填空:
二次根式加减法的法则是:
二次根式加减时,可以先将二次根式化成二次根式,再将相同的二次根式进行合并.
2.计算:
(1)
(3)
(4)
基础知识3
1.计算:
(1)
(2)
=
基础知识4
2.填空:
(1)平方差公式:
(a+b)(a-b)=;
(2)完全平方公式:
(a+b)2=,
(a-b)2=.
二次根是综合
1.如图所示,实数a、b在数轴上的位置,化简:
--
2.观察下列等式:
①==-1;
②==-;
③==-;
……
解答下列问题:
⑴写出一个无理数,使它与3-的积为有理数。
你认为这样的无理数可以是_______;
⑵利用你观察到的规律,化简:
;
⑶计算:
+++…+。
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