不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用.docx
- 文档编号:1392637
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:672.39KB
不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用.docx
《不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
不等式恒成立能成立恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
问题引入:
例1:
已知不等式对恒成立,其中.求实数的取值范围.
分析:
思路1、通过化归最值,直接求函数的最小值解决,即。
思路2、通过分离变量,转化到解决,即。
思路3、通过数形结合,化归到作图解决,即图像在的上方.
小结:
不等式恒成立问题的处理方法
1、转换求函数的最值:
⑴若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的下界大于A
⑵若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上的上界小于B。
2、分离参数法
(1)将参数与变量分离,即化为(或)恒成立的形式;
(2)求在上的最大(或最小)值;
(3)解不等式(或),得的取值范围。
3.转换成函数图象问题
⑴若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;
⑵若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方;
【变式练习:
】对,均恒成立,该如何处理?
例2:
已知函数,,其中,.
1)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
2)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;
【分析:
】
1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决.
2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可.
简解:
(1)由成立,只需满足的最小值大于即可.对求导,,故在是增函数,,所以的取值范围是.
例3设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的取值范围.
分析:
思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最值解决.
方法1:
化归最值,;
方法2:
变量分离,或;
方法3:
变更主元,,
简解:
方法1:
对求导,,
由此可知,在上的最大值为与中的较大者.
,对于任意,得的取值范围是.
练习题
1、设,当x[-1,+]时,都有恒成立,求a的取值范围。
解:
a的取值范围为[-3,1]
2、已知对任意恒成立,试求实数的取值范围;
解:
等价于对任意恒
成立,又等价于时,成立.由于
在上为增函数,
则,所以
3、R上的函数既是奇函数,又是减函数,且当
时,有恒成立,求实数m的取值范围.
解:
由得到:
因为为奇函数,故有恒成立,
又因为为R减函数,从而有对恒成立。
设,则对于恒成立,
设函数,对称轴为.
①当时,,
即,又∴(如图1)
②当,即时,
即,
∴,又,∴(如图2)
③当时,恒成立.∴(如图3)
故由①②③可知:
.
4、已知函数在处取得极值,其中为常数.
(1)试确定的值;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围。
解:
(1)
(2)略(3)由
(2)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值.要使恒成立,只需.解得或.的取值范围为.
2、主参换位法
5、若不等式对恒成立,实数a的取值范围是。
6、若对于任意,不等式恒成立,求实数x的取值范围
解:
7、已知函数,其中为实数.若不等式
对任意都成立,求实数的取值范围.
解析:
由题设知“对都成立,即对都成立。
设(),
则是一个以为自变量的一次函数。
恒成立,则对,为上的单调递增函数。
所以对,恒成立的充分必要条件是,,,于是的取值范围是。
3、分离参数法
8、当时,不等式恒成立,则的取值范围是.
解析:
当时,由得.∴.
4、数形结合
9、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是________
解析:
对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知,即。
二、不等式能成立问题的处理方法
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上;
若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.
10、已知不等式在实数集R上的解集不是空集,求实数的取值范围______
解:
11、若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是.
解:
设.则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立,
即解得或
12、已知函数存在单调递减区间,求的取值范围
解:
因为函数存在单调递减区间,所以
有解.即能成立,设.
由得,.于是,,
由题设,所以a的取值范围是
三、不等式恰好成立问题的处理方法
13、不等式的解集为则__________:
6
14、已知当的值域是,试求实数的值.
解:
是一个恰成立问题,这相当于的解集是.
当时,由于时,,,与其值域是矛盾,
当时,是上的增函数,所以,的最小值为,,令
15、已知两个函数,其中为实数。
⑴对任意,都有成立,求的范围;
⑵存在,使成立,求的范围;
⑶对任意,都有,求的范围。
解:
⑴设,问题转化为时,恒成立。
即,令,所以的最小值只可能在和处取得,又,
⑵据题意存在,使成立,即在上有解,故,由⑴知,只可能是或,所以
⑶由题意对任意,都有等价于当时,
,易知,,
由
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
1、若不等式对任意实数x恒成立,求实数m取值范围
解:
2、已知不等式对任意的恒成立,求实数k的取值范围
解:
3、设函数.对于任意实数,恒成立,求的最大值。
解析:
对,,即在上恒成立,,即的最大值为。
4、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。
解:
不等式即,设,则在[-2,2]上恒大于0,故有:
或
5、已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围。
6、对任意的,函数的值总是正数,求的范围
解:
7、若不等式在内恒成立,则实数m的取值范围。
8、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。
解:
画出两个凼数和在
上的图象如图知当时,
当,时总有所以。
9、不等式有解,求的取值范围。
解:
不等式有解有解有解,所以。
11、①对一切实数x,不等式恒成立,求实数a的范围。
②若不等式有解,求实数a的范围。
③若方程有解,求实数a的范围。
解:
①②③
13、设函数,其中.若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.
解:
由条件可知
,从而恒成立.当时,;当时,.因此函数在上的最大值是与两者中的较大者.
为使对任意,不等式在上恒成立,当且仅当,
即在上恒成立,即
14、已知向量。
若函数在区间(-1,1)上是增函数,求t的取值范围。
解:
依定义。
则,
若在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上恒成立。
∴在(-1,1)上恒成立。
易求得t的取值范围是.
不等式恒成立、能成立、恰成立问题参考答案
例1、解:
a的取值范围为[-3,1]
t
g(t)
o
·
1
图1
t=m
t
g(t)
o
·
1
图2
t=m
t
g(t)
o
·
1
图3
t=m
例2、解:
等价于对任意恒成立,又等价于时,的最小值成立.
由于在上为增函数,
则,所以
例3、解:
由得到:
因为为奇函数,
故有恒成立,
又因为为R减函数,从而有对恒成立
设,则对于恒成立,
在设函数,对称轴为.
①当时,,
即,又∴(如图1)
②当,即时,
即,
∴,又,∴(如图2)
③当时,恒成立.∴(如图3)
故由①②③可知:
.
例4、解:
(1)
(2)略(3)由
(2)知,在处取得极小值,此极小值也是最小值.要使恒成立,只需.即,
从而.解得或.的取值范围为.
例5、解:
例6、解:
例7、解析:
由题设知“对都成立,即对都成立。
设(),
则是一个以为自变量的一次函数。
恒成立,则对,为上的单调递增函数。
所以对,恒成立的充分必要条件是,,,于是的取值范围是。
例8、解析:
当时,由得.令,则易知在上是减函数,所以时,则∴.
例9、解析:
(1)
(2)在区间上单调递增在上恒成立恒成立,。
设,,
令得或(舍去),
当时,,当时,单调增函数;
当时,单调减函数,
。
。
当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,,。
O
综上,当时,;当时,。
例10、解析:
对,不等式恒成立
则由一次函数性质及图像知,即。
例11、解:
1 例12、解: 例13、第二个填空是不等式能成立的问题.设.则关于的不等式的解集不是空集在上能成立, 即解得或 例14、解: ,则 因为函数存在单调递减区间,所以有解.由题设可知,的定义域是, 而在上有解,就等价于在区间能成立,即,成立,进而等价于成立,其中. 由得,.于是,, 由题设,所以a的取值范围是 例15、解: 6 例16、解: 是一个恰成立问题,这相当于的解集是. 当时,由于时,,与其值域是矛盾, 当时,是上的增函数,所以,的最小值为,令,即 例17、解析: (1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x2-3x2-12x+k,问题转化为x[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,故h(x)≥0.令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=-1或2。 由h(-1)=7+k,h (2)=-20+k,h(-3)=k-45,h(3)=k-9,故h(x)=-45+k,由k-45≥0,得k≥45. (2)据题意: 存在x[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即为: h(x)=g(x)-f(x)≥0在x[-3,3]有解,故h(x)≥0,由 (1)知h(x)=k+7,于是得k≥-7。 (3)它与 (1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意x1,x2[-3,3],都有f(x1)≤g(x2)成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,x1,x2的取值在[-3,3]上具有任意性,因而要使原不等式恒成立的充要条件是: ,由g′(x)=6x2+10x+4=0,得x=-或-1,易得,又f(x)=8(x+1)2-8-k,.故令120-k≤-21,得k≥141。 专项练习: 1、解: 2、解: 3、解析: 对,,即在上恒成立,,得,即的最大值为。 4、解: 不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有: x y 0 3 即解得: ∴x<-1或x>3. 5、解: 6、解: 7、解: 8、解: 画出两个凼数和在 上的图象如图知当时, 当时总有所以 9、解: 不等式有解有解有解,所以。 10、解: 由又有解, 所以.令恒成立.所以 11、解: ①②③12、解: ①② 13、解: 由条件可知 ,从而恒成立.当时,;当时,.因此函数在上的最大值是与两者中的较大者. 为使对任意,不等式在上恒成立,当且仅当, 即,即在上恒成立.即, 所以,因此满足条件的的取值范围是. 14、解: ()由()知,当时,在或处取得最小值。 ; 则由题意得即解得。 15、解: 依定义。 则, 若在(-1,1)上是增函数,则在(-1,1)上可设恒成立。 · o x · 1 · -1 y · g(x) ∴在(-1,1)上恒成立。 考虑函数,(如图) 由于的图象是对称轴为,开口向上的抛物线, 故要使在(-1,1)上恒成立,即。 而当时,在(-1,1)上满足>0, 即在(-1,1)上是增函数。 故t的取值范围是.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 不等式 成立 问题 分析 应用