喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间.docx
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喀兴林高等量子力学习题EX1矢量空间
EX1.矢量空间
练习试只用条件
(1)~(8)证明
,
和
。
(完成人:
梁立欢审核人:
高思泽)
证明:
由条件(5)、(7)得
只需证明
和
这两式互相等价
根据条件(7)
现在等式两边加上
,得
根据条件(4),
上式左
根据条件(4)、
(2)
上式右
由
,根据条件(4)、(7)得
#
练习证明在内积空间中若
对任意
成立,则必有
。
(完成人:
谷巍审核人:
肖钰斐)
证明由题意可知,在内积空间中若
对任意
成立,则有
-
=0
(1)
于是有
(2)
由于在内积空间中
对任意
成立,则可取
则有
=0成立(3)
根据数乘的条件(12)可知,则必有
(4)
即
故命题成立,即必有
.
#
练习矢量空间运算的12个条件是不是独立的?
有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论?
如有,试证明之。
(完成人:
赵中亮审核人:
张伟)
解:
矢量空间运算的12个条件是独立的。
#
练习
(1)在第二个例子中若将加法的规定改为:
和矢量的长度为二矢量长度之和,方向为二矢量所夹角
的分角线方向,空间是否仍为内积空间?
(2)在第二个例子中若将二矢量
内积的定义改为
或
,空间是否仍为内积空间?
(3)在第三个例子的空间中,若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间?
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
空间是否仍为内积空间?
(完成人:
张伟审核人:
赵中亮)
解:
(1)在第二个例子中若将加法的规定改变之后,空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元,如一个不为零的矢量设为
,则任意矢量和它相加后,得到的矢量的长度不为零,所以一定不能得到零矢量,即找不到逆元。
所以空间不是内积空间。
(2)在第二个例子中若将内积的定义改之后,空间不是一个内积空间。
证明如下:
一般情况下,
即有
=
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
(3)在第三个例子中若将内积的定义改之后,空间仍然是一个内积空间。
证明如下:
i
ii.
iii.
iv.
,对任意
成立
若
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间
(4)在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
后,空间不是内积空间。
因为
,积分号内的函数是一个奇函数,它不能保证对于任意的
积分出来后都大于零,即不符合条件(12),所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中,若将内积的定义改为
后,空间是内积空间。
证明如下:
i
ii
iii
iv
若
,则必有
综上所述,新定义的内积规则符合条件(9)—条件(12),所以仍为内积空间。
#
练习若a为复数,证明若
时,Schwartz不等式中的等号成立。
(完成人:
肖钰斐审核人:
谷巍)
证明:
当若
时,分别带入Schwartz不等式的左边和右边。
左边=
右边=
左边=右边,说明当
时,Schwartz不等式中的等号成立。
#
练习证明当且仅当
对一切数
成立时,
与
正交。
并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。
(完成人:
赵中亮审核人:
张伟)
证明:
解:
当
对一切数
成立时,有
即
得
即
因为
可以取一切数,所以当
取纯虚数时,即
得
由此得
只能是实数
当
取非零实数时,即
只有
时,即
与
正交时才成立
所以当
对一切数
成立时,
与
正交。
当
与
正交时,
则
取
为任意数
则
得
即
对一切数
成立
综上,当且仅当
对一切数
成立时,
与
正交。
在三维位形空间中,这一命题的几何意义是:
对角线相等的平行四边形是矩形。
#
练习证明:
当且仅当
对一切数
成立时,
与
正交。
(完成人:
班卫华审核人:
何贤文)
证明:
因为
,两边平方得
则构成以
为变量的二次函数,要使对一切
成立,判别式恒小于等于零,
即
只需
即
得
所以当
对一切数
成立时,
与
正交。
练习在四维列矩阵空间中,给定四个不正交也不全归一的矢量:
它们构成一个完全集,试用Schmidt方法求出一组基矢。
(完成人:
肖钰斐审核人:
谷巍)
解:
由Schmidt方法,所求基矢:
#
练习在上题中,改变四个
的次序,取
重新用Schmidt方法求出一组基矢。
(完成人:
何贤文审核人:
班卫华)
解:
由空间中不满足正交归一条件的完全集{
},求这个空间的一组基矢{
}.
(1)首先取
为归一化的
:
(2)取
,选择常数
使
与
正交,即
得
,
取
为归一化的
:
(3)取
,选择常数
和
使
与
正交,即
归一化的
为
(4)取
,选择常数
使
与已选定的
正交,即
归一化的
为
则找到一组基矢为{
}.
#
练习在三维位形空间中,
,
,
是在互相垂直的x,y,z三个轴上的单位矢量。
取三个归一化的矢量:
(高思泽)
在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。
现在改变正交的定义:
定义这三个矢量
,
,
互相正交。
1.证明:
定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交,等于定有一种内积规则。
2.求出这个新的内积规则,即将任意两个矢量
,
的内积表为
和
的函数。
3.验证所求的内积规则符合条件(9)~(12)。
4.用
验证所求出的内积规则。
1证明:
在一个归一化的完全集里面的矢量集合里,任意的两个矢量正交,根据矢量的正交性定义,两个矢量ψ和φ的内积为零,即
。
2解:
由
,
,
与
,
,
的关系,可得到如下变换:
由上面的关系得:
由此,
定义
,
,
互相正交,有矢量的正交性,得
由此可得
3证明:
当
时,只有x,y,z都同时等于0才能满足,即
。
综上所述,所求的内积规则符合条件(9)~(12)。
4,见
(2)
#
练习在n维空间中,已知
,i=1,2,3.....,n是一组完全集(不一定正交),现在有n个矢量
,i=1,2,3.....,n(也不一定正交),定义
D=
证明
线性相关的必要和充分条件维D=0。
(完成人:
何贤文审核人:
班卫华)
解:
对于矢量空间的n个矢量的集合
,有
,此式是关于n个矢量的集合
的齐次方程组
(1)
若
线性相关,则满足
至少有一组非零解,则要求:
即
D=0
若D=0,则方程
(1)必有非零解,即满足有一组不为零的复数使得
故
线性相关。
#
练习一个矢量空间有两个不同的子空间S1和S2,证明除去以下两种情况外,包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是子空间:
(1S1是S2的子空间或S2是S1的子空间;
(2S1和S2其中之一只含有零矢量一个元。
(完成人:
张伟审核人:
赵中亮)
证明:
(1)设子空间S1和S2的维数分别为m,n,它们共同的基矢的个数为
个,当S1不是S2的子空间且S2不是S1的子空间时,它们之间含有不同的基矢。
则当S1空间的一个矢量和S2空间的一个矢量做加法的时,它们得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合中找到,因为加法后得到的矢量的维数可以大到
维,而
所以包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是矢量空间,从而不是子空间。
(2)当S1和S2其中之一只含有零矢量一个元时,它必然是另一个子空间的子空间,由此可见
(2)只不过是
(1)的特例,显然得证。
#
练习阅读狄拉克的《量子力学原理》§6,分析他建立左矢空间的方法与我们的方法有什么共同点和不同点.
(完成人:
梁立欢审核人:
高思泽)
分析:
本书从空间的方向入手建立左矢量。
我们对现有的一个矢量空间定义了其中矢量的加法、数乘和标量积运算,称此空间为单一空间。
现在对照这个空间再建以下两个空间。
一个叫右矢空间,它的构造同单一空间完会一样,每一个矢量(即右矢)都与单一空间里的矢量相对应,这些右矢有加法和数乘的运算,其定义和规则与单一空间相同。
第二空间比照右欠空间来建立,称为左矢空间,其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应。
,左矢空间中的事情不能随意去规定,需要同右矢空间的事情相互协调,它们通过标量积联系起来。
这样建立的左矢空间是一个完全确定的(即有明确加法和数乘运算规则的)欠量空间。
狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量。
假定有一个数C。
它是右矢量
的函数,就是说,对每一个右矢量
有一个函数C与之相应,并且进一步假定此函数是线性函数,其意义是,相应于
的数等于相应于
的数与相应于
的数之和,相应于
的数是相应于
的数的
倍,其中
是任意的数字因子。
这样,相应于任何
的数C,就可以看成是
与某个新矢量的标量积,对右矢量
的每一线性函数就有一个这样的新矢量。
我们把这种新矢量称为“左矢量”或简称“左矢”。
在此引入的左矢量,是与右矢量完全不同的另一类矢量,而且直到现在。
除了左矢量与右矢量之间存在着标量积以外,两者之间还没有任何联系。
现在作一个假定:
在左矢量与右矢量之间有一一对应关系。
使得相应于
的左矢是相应于
的左矢与相应于
的左矢之和。
而相应于
的左矢则是相应于
的左矢乘以
,
是c的共轭复数,
相应的左矢可写成
。
从以上两种方法来看,它们是从不同的方向来建立左矢空间的,在此过程中,都对矢量关系和运算问题进行了一些假定(或规定),并且所建立的左矢空间和右矢空间都是通过定义的标量积联系起来。
#
练习证明:
与所有左矢的内积均已给定(但给定值应满足内积条件(9)~(12))的右矢是一个确定的右矢(即必定存在而且只有一个)。
(完成人:
谷巍审核人:
肖钰斐)
证明设右矢
和
与所有左矢
的内积均已给定,且内积均为C.则有
(1)
(2)
根据内积条件(10)的第一式,由
(1)-
(2),则有
(3)
因为
是任意的左矢,故知括号内为
,即
(4)
(5)
故与所有左矢的内积均已给定的右矢是一个确定的右矢(即必定存在而且只有一个).定理得证.
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- 喀兴林 高等 量子力学 习题 EX1 矢量 空间