新小学数学中易混概念.docx
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新小学数学中易混概念
小学数学中易混概念
思考:
小学数学中有哪些常用概念?
数与代数;空间与图形;统计与概率。
(一)数与代数领域
1、数与数字
数字是用来记数的符号。
常用的数字有中国数字、阿拉伯数字(0-9)(10个);罗马数字IVXLCDM(7个); 英文数字 ABCDEF(在十六进制中用到)等。
数:
是表示事物的量的基本数学概念,例如自然数、整数、分数、有理数等。
数和数字是两个不同的概念,数字仅仅是一种符号,只有用它来表示数时,才具有某种特定的含义。
教学时要正确使用这两个概念,如3+2=5不能说是3和2两个数字相加;十位上的数相加,不能说成十位上的数字相加。
分数与百分数:
联系:
都是分数,只不过百分数是一种特殊的分数;
区别:
分数既可表示具体的量,如二分之一米、三分之二千克,又可表示两个量间的倍比系如男生人数是全班人数的五分之三;而百分数只表示两个数量间的倍比关系,所以百分数又叫百分比、百分率。
在百分数后面不能带计量单位名称(即百分数不是名数),如百分之二十三吨,不能写成23%吨,也就是不能写成百分号的23%吨了。
它们的书写形式不同,百分数的书写在数字后加上百分号。
带分数:
是假分数的另一种书写方式。
小学阶段:
主要学习的是整数、分数和小数。
有限小数:
小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。
例如:
41.7、25.3、0.23都是有限小数。
无限小数:
小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。
例如:
4.33……3.1415926……
无限不循环小数:
一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。
例如:
π(圆周率,它是一个无理数)
循环小数:
一个数的小数部分,从某一位起向右有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。
例如:
3.555……0.0333……
12.109109……
循环节:
一个循环小数的小数部分,从某一个数字开始,有一个数字或者几个数字,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节(强调:
循环节要从小数部分从左往右看)。
例如:
3.99……的循环节是“9”,0.5454……的循环节是“54”。
注意:
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
(3)分数的意义
分数:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
(4)分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
(5)分数的分类
真分数:
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数:
假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3、约分与通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数(的过程),叫做约分。
(不过在教学中,我们应强调能约成最简分数的,还是要约成最简分数。
)
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数(的过程),叫做通分。
相同点:
约分,通分都是依据分数的基本性质将其化成等值分数。
不同点:
约分是用相同的数(0除外)同时整除分数的分子和分母;通分是把分数的分子分母同时乘相同的数(0除外);
约分是就个体而言,通分对群体而言。
4、数位、位数
思考:
一个数的最高位是千万位,这个数是(八)位数。
亿位上的5表示(五个亿)。
与千万位相邻的数位是(亿位、百万位)。
以上问题涉及哪些概念?
数位:
计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
(与十进制的计数单位相对应的数位是个位、十位……)
位数:
是指一个自然数中含有数位的个数(位数是对整数来讲的)。
像458这个数由三个数字组成,每个数字占了一个数位,我们就把它叫做三位数。
(大家想一想最小的一位是几呢?
最小的一位数是1。
0不是一位数。
组数的规则是左起不能为0.)[没有争议后面这些就不用讲:
位数是指一个整数所占有数位的个数。
把占有一个数位的数叫一位数,占有两个数位的数叫两位数等等,例如,48076是五位数,因为它占有五个数位,这里的“0”占有数位,表示百位上一个单位也没有。
那么0能不能称一位数呢?
不能。
因为记数法里有个规定:
一个数的最高位不能是0.用一个不是0的数字写出的数叫做一位数。
为什么要这样规定呢?
因为若没有这样的规定,0就是一位数,由此可以得出最小的两位数是00,最小的三位数是000,这样的结论显然是不对的。
不仅这样,若没有这样的规定,对个数也就无法确定它是几位数了。
例如,15是两位数,“015”就变成了三位数,“0015”)就变成了四位数。
这样,同一个数我们可以随意称它为几位数,“位数”这一概念的存在也就没有必要了。
因此,一个数的最高位不能是“0”。
]
“数位”与“位数”不能混淆。
198023456(一亿九千八百万零二万三千四百五十六)由9个数字组成,那它就是一个九位数,4在百位。
5、整除与除尽
观察并分类:
①12÷7=1……5②6÷5=1.2
③1.5÷0.3=5④24÷2=12
(②③④是除尽,③④是整除,)
整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a。
整除与除尽都是没有余数的除法,但它们的含义是不同的。
整除是整数范围的除法,整除的两个数和所得商必须都是整数,而除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数和商既可以是整数,也可以是有限小数。
由此可见,“整除”是“除尽”的一种特殊情况,能整除的一定能除尽,能除尽的却不一定能整除。
6、因数与倍数
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(或a的因数)。
倍数和因数是相互依存的。
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
例如:
10的因数有1、2、5、10,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有:
3、6、9、12……其中最小的倍数是3,没有最大的倍数。
8、质数与合数
一个数,如果只有1和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数)
100以内的质数有:
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25个。
一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,例如4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数,自然数除了1外,不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类,可分为质数、合数和1。
9、质数与互质数
公因数只有1的两个数,叫做互质数。
成互质关系的两个数,有下列几种情况一定互质:
①1和任何自然数互质。
②相邻的两个自然数互质。
③两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。
质数是针对一个数而言,如5是质数,互质数是针对两个数来说的,如3和4是互质数,8和9是互质数,成为互质数的两个数不一定都是质数。
10、质因数、分解质因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,例如15=3×5,3和5叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
例如把28分解质因数28=2×2×7,(不能写成2×2×7=28,这是算式)
11、最大公因数和最小公倍数
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,例如12的因数有1、2、3、4、6、12;18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中,1、2、3、6是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数,它们的最大公因数就是1。
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……;3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数,6是它们的最小公倍数。
如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的
13.分数、除法与比的联系与区别?
(看到3分之2这个分数,你可能会联想到了什么?
商、分数、比、除法、数轴上的点或线)
分数、除法与比
名称
比
分数
除法
形式
a:
b
a÷b
联系
前项
分子
被除数
比号
分数线
除号
后项
分母
除数
比值
分数值
商
比的基本性质
分数的基本性质
商不变性质
区别
两个数的关系
一个数
一种运算
14、化简比与求比值的区别
化简比的结果必须是一个比,(只是化简后的比的前项和后项是互质的整数),可用(真、假)分数或比的形式来表示,求比值的结果是一个数:
小数、整数、分数(真、带)。
方法上也有所不同:
化简比可根据比的基本性质,也可用求比值的方法(前项除以后项),但结果必须是比的形式。
15、比和比例以及正比例和反比例
(1)比和比例的意义与性质
(2)
比
比例
意义
两个数相除又叫做两个数的比。
表示两个比相等的式子叫做比例。
各部分名称
0.9:
0.6=1.5
前项后项比值
5:
6=20:
24
内项
外项
基本性质
比的前项和后项都乘上或除以相同的数(0除外),比值不变。
在比例里,两个内项的积等于两个外项的积。
16.正比例和反比例的相同点和不同点?
正比例
反比例
相同点
1、都有两种相关的量。
2、一种量随着另一种量变化。
不同点
1、变化方向相同,一种量扩大或缩小,另一种量也扩大或缩小。
2、相对应的每个数的比值(商)是一定的。
(
是一个不等于0的常量)
1、变化方向相反,一种量扩大(缩小),另一种量反而缩小(扩大)。
2、相对应的每两个数的积是一定的。
(
是一个不等于0的常量)
【基本性质】
分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变;
小数的基本性质:
小数的末尾(强调末尾)添上“0”或者去掉“0”,小数的大小不变;
商不变的性质:
在除法里,被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变;
比的基本性质:
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变;
比例的基本性质:
在比例里,两内项之积等于两外项之积。
17.方程、方程的解与解方程
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
注意:
方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。
【未知数:
是在解方程中有待确定的值】
方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
解方程:
求方程的解的过程叫做解方程。
(X=1是方程吗?
是的,X=1有未知数,也是等式。
但是在方程中X应该是待确定的值,而X=1,它即是方程的解,又是方程,所以不建议出现X=1这种形式的方程。
)
20.周长与面积
判断:
边长为4厘米的正方形,周长与面积相等。
(不对,意义不同,单位不同,计算方法不同,求周长时:
第一个4是边长,第二个4是边数;求面积时的4是边长。
)
举例说明周长与面积的区别与联系。
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