最新高中数学解题技巧数列放缩优秀名师资料Word文档下载推荐.docx
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(1)
14411222,2n4n4n,12n,12n,1
r,1
r
Cn
(2)
1211
2
CCn(n,1)n(n,1)n(n,1)n(n,1)
1n,1
(3)T
1n!
11111r,(r2)r
r!
(n,r)!
nr!
r(r,1)r,1rn
(4)(1,1)n1,1,1,1,,
213215
n(n,1)2
n,2,nn,2
2n,12n,32
11
n,1
(2n,1)2(2n,3)2n
(5)
111
n,n
2(2,1)2,12
(6)
211(7)2(n,1,n)12(n,n,1)(8)
n
(9)
11111111,,,
k(n,1,k)n,1,kkn,1n(n,1,k)k,1nn,1,k
n11,
(n,1)!
n!
(10)(11)
1n
(2n,1,n,1)
222n,1,2n,1
n,
211,n,22
(11)(12)
2n2n2n2n,111n,1,n(n2)n2nnnnnn,1
(2,1)(2,1)(2,1)(2,1)(2,2)(2,1)(2,1)2,12,11n
3
1nn
1111,
n(n,1)(n,1)n(n,1)(n,1)n,1,n,1
n,1
1,1,n,1
n,12n
,1,1
(13)(14)
2n12n
22(3,1)233(2,1)22,1n
32,13
k,211,
k!
(k,1)!
(k,2)!
(k,1)!
(k,2)!
(15)
n,n,1(n2)n(n,1)i,j
22
(15)i,1,j,1
i2,j2
(i,j)(i,1,
i,j
j,1)
i,1,
j,1
例2.
(1)求证:
1,1,1,,
5171
(n2)2
62(2n,1)(2n,1)
(2)求证:
1,1,1,,11,12
16
36
4n
(3)求证:
1,13,135,,135(2n,1)2n,1,1
24
246
2462n
(4)求证:
2(n,1,1)1,1,1,,12(2n,1,1)
解析:
(1)因为
11111,所以,2
(2n,1)(2n,1)22n,12n,1(2n,1)
(2i,1)
i1
1111111,(,)1,(,)
232n,1232n,1
(2)1,1,1,,11(1,1,,1)1(1,1,1)
222
(3)先运用分式放缩法证明出135(2n,1)
1,再结合
1,2
n,2,n
进行裂项,最后就可以
得到答案(4)首先
12(,1,)
2n,1,,所以容易经过裂项得到
2(n,1,1)1,
12
13
,
而由均值不等式知道这是显然成立的,所以
再证
(2n,1,2n,1)
22n,1,n,1
211
n,22
1,
1,,
2(2n,1,1)
例3.求证:
6n1115
1,,,,2
(n,1)(2n,1)49n3
11
22,14n,12n,12n,1n2,41
一方面:
因为,所以
k
k1
112511
1,2,,,,1,
2n,12n,13335
另一方面:
1,1,1,,11,1,1,,
9
23
3411n
n(n,1)n,1n,1
当n3时,
当n2时,
6n111n6n,当n1时,1,,,,2
(n,1)(2n,1)49nn,1(n,1)(2n,1)
6n111
1,,,,2,所以综上有
(n,1)(2n,1)49n
6n11151,,,,2
例4.(2008年全国一卷)设函数f(x)x,xlnx.数列an满足0a11.an,1f(an).设b(a1,1),整数
k?
a1,b.证明:
ab.k,1
a1lnb
由数学归纳法可以证明an是递增数列,故存在正整数mk,使
amb,则
ak,1akb,否则若amb(mk),则由0a1amb1知
amlnama1lnama1lnb0,a
k,1
ak,aklnaka1,amlnam,因为amlnamk(a1lnb),
m1
kk
于是ak,1a1,k|a1lnb|a1,(b,a1)b
例5.已知n,mN,,x,1,Sm1m,2m,3m,,nm,求证:
nm,1(m,1)Sn(n,1)m,1,1.
首先可以证明:
(1,x)n1,nx
nm,1nm,1,(n,1)m,1,(n,1)m,1,(n,2)m,1,,1m,1,0n[km,1,(k,1)m,1]所以要证
nm,1(m,1)Sn(n,1)m,1,1只要证:
[km,1,(k,1)m,1](m,1)km(n,1)m,1,1(n,1)m,1,nm,1,nm,1,(n,1)m,1,,2m,1,1m,1[(k,1)m,1,km,1]
nnn
故只要证
[km,1,(k,1)m,1](m,1)km[(k,1)m,1,km,1],即等价于
km,1,(k,1)m,1(m,1)km(k,1)m,1,km,即等价于1,m,1(1,1)m,1,1,m,1(1,1)m,1
kkkk
而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知an4n,2n,T
2n
a1,a2,,an
求证:
T,T,T,,T3.
123n
解
析:
T41,42,43,,4n,(21,22,,2n)4(1,4),2(1,2)4(4n
1),2(1,2n)
1,41,23
所以
2n2n32n32n
Tnn,1n,1n,1n,1n2
n44424,32,222
(2),32n,1(4,1),2(1,2n),,2,2n,1,,
2n,133333
32n311,2(22,1)(2,1)22,12,1
1111从而T,T,T,,T3,1,,,,,n123n
7
2,1
12
例7.已知x11,xn(n2k,1,kZ),求证:
n,1(n2k,kZ)证明:
,,2(,1,1)(nN*)
xxx2x3x4x52n2n,1
1n
21x2nx2n,1
(2n,1)(2n,1)
4n2,1
22n
因为
4n2
2,,1,所以
x2nx2n,1
n,n,1
(n,1,n)
二、函数放缩
例8.求证:
ln2,ln3,ln4,,ln33n,5n,6(nN*).
6
先构造函数有lnxx,1lnx1,1,从而
ln2,ln3,ln4,,ln3n
x
2343
1113n,1,(,,,n)233
因为1,1,,
3111111111111
,,,,,,,,n,n,,nn32,132345
67892
3n,1533993n,15n
,,,,,,23n,13n66691827
所以ln2,ln3,ln4,,ln33n,1,5n3n,5n,6
例9.求证:
ln2ln3lnn2n,n,1
构造函数后即可证明
例12.求证:
(1,12)(1,23)[1,n(n,1)]e2n,3
ln[n(n,1),1]2,
叠加之后就可以得到答案3
n(n,1),1
例13.证明:
ln2,ln3,ln4,,
5lnnn(n,1)
(nN*,n1)n,14
构造函数f(x)ln(x,1),(x,1),1(x1),求导,可以得到:
f'
(x)
12,x,令,1
x,1x,1
(x)0有1x2,令f'
(x)0有x2,
所以f(x)f
(2)0,所以ln(x,1)x,2,令xn2,1有,lnn2n2,1
所以lnn
所以ln2,ln3,ln4,,
5lnnn(n,1)(nN*,n1)n,14
例14.已知a
1,an,1(1,
11证明ae2.n)an,n.
n,n2
an,1(1,
然后两边取自然对数,可以得到111111lnan,1ln(1
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