南大复变函数与积分变换课件ppt版8.1傅立叶变换的概念PPT课件下载推荐.ppt

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,8.1Fourier变换的概念,因此，Fourier变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier变换是在周期函数的Fourier级数的基础上发,8.1Fourier变换的概念,一、周期函数的Fourier级数,二、非周期函数的Fourier变换,一、周期函数的Fourier级数,1.简谐波的基本概念,简谐波,为基本周期；

为频率。

一、周期函数的Fourier级数,2.正交函数系,函数系,2.正交函数系,特点,由组合叠加可以生成周期为T的复杂波。

（1）周期性,

（2）正交性,一、周期函数的Fourier级数,一、周期函数的Fourier级数,2.正交函数系,?

能否：

区间上满足如下条件（称为Dirichlet条件）：

则在的连续点处有,3.Fourier级数的三角形式,一、周期函数的Fourier级数,在的间断处，上式左端为,称之为基频。

（Dirichlet定理）,定理,3.Fourier级数的三角形式,其中,（A）,一、周期函数的Fourier级数,4.Fourier级数的物理含义,令,则（A）式变为,一、周期函数的Fourier级数,这些简谐波的（角）频率分别为一个基频的倍数。

频率成份，其频率是以基频为间隔离散取值的。

”,这是周期信号的一个非常重要的特点。

4.Fourier级数的物理含义,一、周期函数的Fourier级数,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。

4.Fourier级数的物理含义,所占有的份额；

沿时间轴移动的大小。

一、周期函数的Fourier级数,5.Fourier级数的指数形式,代入（A）式并整理得,根据Euler公式,可得,一、周期函数的Fourier级数,5.Fourier级数的指数形式,推导,则有,令,其中,一、周期函数的Fourier级数,

（2）计算系数时,其中的积分可以在任意,一个长度为T的区间上进行。

（3）采用周期延拓技术，可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。

5.Fourier级数的指数形式,一、周期函数的Fourier级数,6.离散频谱与频谱图,得,即的模与辐角正好是振幅和相位。

称为频谱，记为,一、周期函数的Fourier级数,6.离散频谱与频谱图,一、周期函数的Fourier级数,

（1）当n=0时，,解,（3）的Fourier级数为,解,（4）振幅谱为,相位谱为,（5）频谱图如下图所示。

解,借助Fourier级数展开，使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对,信号的分析手段也称为频谱分析（或者谐波分析）。

但是，Fourier级数要求被展开的函数必须是周期函,数，而在工程实际问题中，大量遇到的是非周期函数，,那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?

二、非周期函数的傅立叶变换,二、非周期函数的傅立叶变换,

（1）非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。

1.简单分析,当T越来越大时，取值间隔越来越小；

当T趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。

其频谱是以为间隔离散取值的。

即频谱将连续取值。

（2）当时，频率特性发生了什么变化？

二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,（3）当时，级数求和发生了什么变化？

二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,分析,分析,则,按照积分定义，在一定条件下，（C）式可写为,记,（3）当时，级数求和发生了什么变化？

二、非周期函数的傅立叶变换,1.简单分析,二、非周期函数的傅立叶变换,2.Fourier积分公式,

（2）Fourier逆变换（简称傅氏逆变换）,二、非周期函数的傅立叶变换,-1,3.Fourier变换的定义,注上述变换中的广义积分为柯西主值。

二、非周期函数的傅立叶变换,4.Fourier变换的物理意义,与Fourier级数的物理意义一样，Fourier变换同样,刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期,函数的频谱是连续取值的。

一般为复值函数，故可表示为,反映的是中各频率分量的分布密度，它,

（2）振幅谱为,相位谱为,解,（3）求Fourier逆变换，即可得到的Fourier积分表达式。

解,-1,一般地，有,特别地，有,注,解,相位谱为,历史回顾Fourier级数,附：

历史回顾Fourier级数,附：

1829年，德国数学家Dirichlet终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。

时年24岁。

1830年5月16日，Fourier在巴黎去世。

人物介绍狄利克雷,附：

附：

人物介绍傅立叶,附：

抽样信号,抽样信号在连续（时间）信号的离散化、离散（时间）信号的,精确恢复以及信号的滤波中发挥着重要的作用。

低通滤波,它所对应的频谱函数称为理想低通滤波器。

当用理想低通滤波器与其它信号的频谱函数相乘时，,能使信号的低频成份完全通过（保留），高频成份完全压制。