版高考数学大一轮复习第八章立体几何82空间几何体的表面积与体积教师用书文新人教版Word格式.docx
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锥体(棱锥和圆锥)
S表面积=S侧+S底
台体(棱台和圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=(S上+S下+)h
球
S=4πR2
V=πR3
【知识拓展】
1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,
①若球为正方体的外接球,则2R=a;
②若球为正方体的内切球,则2R=a;
③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.( √ )
(2)锥体的体积等于底面积与高之积.( ×
)
(3)球的体积之比等于半径比的平方.( ×
(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差.( √ )
(5)长方体既有外接球又有内切球.( ×
(6)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( ×
1.(教材改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )
A.1cmB.2cm
C.3cmD.cm
答案 B
解析 S表=πr2+πrl=πr2+πr·
2r=3πr2=12π,
∴r2=4,∴r=2cm.
2.(2015·
陕西)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.3πB.4π
C.2π+4D.3π+4
答案 D
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱,底面半径为1,高为2,则表面积为
S=2×
π×
12+×
2π×
1×
2+2×
2
=π+2π+4=3π+4.
3.(2016·
全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
A.12πB.π
C.8πD.4π
答案 A
解析 由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π,故选A.
4.《九章算术》商功章有题:
一圆柱形谷仓,高1丈3尺3寸,容纳米2000斛(1丈=10尺,1尺=10寸,斛为容积单位,1斛≈1.62立方尺,π≈3),则圆柱底面圆周长约为( )
A.1丈3尺B.5丈4尺
C.9丈2尺D.48丈6尺
解析 设圆柱底面半径为r尺,高为h尺,依题意,圆柱体积为V=πr2h=2000×
1.62≈3×
r2×
13.33,所以r2≈81,即r≈9,所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺=5丈4尺,即圆柱底面圆周长约为5丈4尺,故选B.
5.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1,P为侧棱B1B上的一点,则四棱锥P-ACC1A1的体积为______.
答案
解析 设点P到平面ABC,平面A1B1C1的距离分别为h1,h2,则棱柱的高为h=h1+h2,又记S=S△ABC=,则三棱柱的体积为V=Sh=1.而从三棱柱中去掉四棱锥P-ACC1A1的剩余体积为V′=VP-ABC+=Sh1+Sh2=S(h1+h2)=,从而=V-V′=1-=.
题型一 求空间几何体的表面积
例1
(1)(2017·
淮北月考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )
A.21+B.18+
C.21D.18
(2)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.
答案
(1)A
(2)12
解析
(1)由几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图所示,因此该几何体的表面积为
6×
(4-)+2×
×
()2=21+.故选A.
(2)设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h′.
由题意,得×
2×
h=2,
∴h=1,
∴斜高h′==2,
∴S侧=6×
2=12.
思维升华 空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量.
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;
组合体的表面积注意衔接部分的处理.
(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.
(2016·
大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为________.
答案 26
解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分,长方体的长,宽,高分别为4,1,2,挖去半圆柱的底面半径为1,高为1,所以表面积为S=S长方体表-2S半圆柱底-S圆柱轴截面+S半圆柱侧=2×
4×
1+2×
2-π×
12-2×
1+×
1=26.
题型二 求空间几何体的体积
命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积
例2 (2016·
山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.+πB.+π
C.+πD.1+π
答案 C
解析 由三视图知,半球的半径R=,四棱锥为正四棱锥,它的底面边长为1,高为1,∴V=×
3=+π,故选C.
命题点2 求简单几何体的体积
例3 (2016·
江苏改编)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.若AB=6m,PO1=2m,则仓库的容积为________m3.
答案 312
解析 由PO1=2m,知O1O=4PO1=8m.因为A1B1=AB=6m,所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
V锥=·
A1B·
PO1=×
62×
2=24(m3);
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
V柱=AB2·
O1O=62×
8=288(m3).
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.
(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.
(1)(2016·
四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________.
(2)正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A-B1DC1的体积为( )
A.3B.C.1D.
答案
(1)
(2)C
解析
(1)由题意可知,因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形,由正视图可得俯视图(如图),且三棱锥高为h=1,则体积V=Sh=×
(×
1)×
1=.
(2)在正△ABC中,D为BC的中点,则有AD=AB=,
=×
=.
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC,
平面BB1C1C∩平面ABC=BC,
AD⊥BC,AD⊂平面ABC,
∴AD⊥平面BB1C1C,
即AD为三棱锥A-B1DC1底面上的高.
∴=·
AD=×
=1.
题型三 与球有关的切、接问题
例4 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A.B.2
C.D.3
解析 如图所示,由球心作平面ABC的垂线,
则垂足为BC的中点M.
又AM=BC=,
OM=AA1=6,所以球O的半径R=OA==.
引申探究
1.已知棱长为4的正方体,则此正方体外接球和内切球的体积各是多少?
解 由题意可知,此正方体的体对角线长即为其外接球的直径,正方体的棱长即为其内切球的直径.设该正方体外接球的半径为R,内切球的半径为r.
又正方体的棱长为4,故其体对角线长为4,
从而V外接球=πR3=π×
(2)3=32π,
V内切球=πr3=π×
23=.
2.已知棱长为a的正四面体,则此正四面体的表面积S1与其内切球的表面积S2的比值为多少?
解 正四面体的表面积为S1=4·
·
a2=a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r=·
a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.
3.已知侧棱和底面边长都是3的正四棱锥,则其外接球的半径是多少?
解 依题意得,该正四棱锥的底面对角线的长为3×
=6,高为=3,
因此底面中心到各顶点的距离均等于3,所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为3.
思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.
(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,利用4R2=a2+b2+c2求解.
正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
A.B.16πC.9πD.
解析 如图,设球心为O,半径为r,
则在Rt△AOF中,(4-r)2+()2=r2,
解得r=,
∴该球的表面积为4πr2=4π×
()2=π.
15.巧用补形法解决立体几何问题
典例 (2016·
青岛模拟)如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,
则此几何体的体积为________.
思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成.“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法,在解题时,把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中,巧妙地破解空间几何体的体积等问题,常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形,对于还原补形,主要涉及台体中“还台为锥”,将不规则的几何体补成规则的几何体等.
解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=V三棱柱=×
S△ABC×
AA′=×
24×
8=96.
答案 96
1.(2016·
合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.12+4B.18+8
C.28D.20+8
解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱,该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4,所以表面积为×
2+4×
2=20+8,故选D.
2.(2016·
大同模拟)一
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