高考真题数学理天津卷 Word版含答案Word文档格式.docx
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如果事件A,B互斥,那么·
如果事件A,B相互独立,那么
P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).
棱柱的体积公式V=Sh.·
球的体积公式.
其中S表示棱柱的底面面积,其中表示球的半径.
h表示棱柱的高.
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合,则
(A)(B)(C)(D)
(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
(A)(B)1(C)(D)3
(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出的值为
(A)0(B)1(C)2(D)3
(4)设,则“”是“”的
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
(5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
(6)已知奇函数在R上是增函数,.若,,,则a,b,c的大小关系为
(A)(B)(C)(D)
(7)设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则
(A),(B),(C),(D),
(8)已知函数设,若关于x的不等式在R上恒成立,则a的取值范围是
(A)(B)(C)(D)
第Ⅱ卷
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)已知,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.
(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.
(11)在极坐标系中,直线与圆的公共点的个数为___________.
(12)若,,则的最小值为___________.
(13)在中,,,.若,,且,则的值为___________.
(14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,,.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)求的值.
16.(本小题满分13分)
从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.
(Ⅰ)记表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C-EM-N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
18.(本小题满分13分)
已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程.
(20)(本小题满分14分)
设,已知定义在R上的函数在区间内有一个零点,为的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)设,函数,求证:
;
(Ⅲ)求证:
存在大于0的常数,使得对于任意的正整数,且满足.
天津理数答案
1-4BDCA
5-8BCAA
9.−2;
10.;
11.2;
12.4;
13.;
14.1080
15.(Ⅰ)解:
在中,因为,故由,可得.由已知及余弦定理,有,所以.
由正弦定理,得.
所以,的值为,的值为.
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)及,得,所以,
.故.
16.(Ⅰ)解:
随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.
,
.
所以,随机变量的分布列为
1
2
3
随机变量的数学期望.
设表示第一辆车遇到红灯的个数,表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为
所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
如图,以A为原点,分别以,,方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(Ⅰ)证明:
=(0,2,0),=(2,0,).设,为平面BDE的法向量,
则,即.不妨设,可得.又=(1,2,),可得.
因为平面BDE,所以MN//平面BDE.
易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量,则,因为,,所以.不妨设,可得.
因此有,于是.
所以,二面角C—EM—N的正弦值为.
(Ⅲ)解:
依题意,设AH=h(),则H(0,0,h),进而可得,.由已知,得,整理得,解得,或.
所以,线段AH的长为或.
18.【解析】
(I)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,所以.
又因为,解得.所以,.
由,可得①.
由,可得②,
联立①②,解得,,由此可得.
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(II)解:
设数列的前项和为,
由,,有,
故,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
19.(Ⅰ)解:
设的坐标为.依题意,,,,解得,,,于是.
所以,椭圆的方程为,抛物线的方程为.
设直线的方程为,与直线的方程联立,可得点,故.将与联立,消去,整理得,解得,或.由点异于点,可得点.由,可得直线的方程为,令,解得,故.所以.又因为的面积为,故,整理得,解得,所以.
所以,直线的方程为,或.
20.(Ⅰ)解:
由,可得,
进而可得.令,解得,或.
当x变化时,的变化情况如下表:
x
+
-
↗
↘
所以,的单调递增区间是,,单调递减区间是.
(Ⅱ)证明:
由,得,
令函数,则.由(Ⅰ)知,当时,,故当时,,单调递减;
当时,,单调递增.因此,当时,,可得.
令函数,则.由(Ⅰ)知在上单调递增,故当时,,单调递增;
当时,,单调递减.因此,当时,,可得.
所以,.
(III)证明:
对于任意的正整数,,且,
令,函数.
由(II)知,当时,在区间内有零点;
当时,在区间内有零点.
所以在内至少有一个零点,不妨设为,则.
由(I)知在上单调递增,故,
于是.
因为当时,,故在上单调递增,
所以在区间上除外没有其他的零点,而,故.
又因为,,均为整数,所以是正整数,
从而.
所以.所以,只要取,就有.
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