变分不等式问题的解的存在性Word格式.docx
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RyR为一连续函数.变分不等式问题(VI(K,F))即是:
求一点xIK,满足
(x-x)F(x)\0,PxIK.
当K=R+时,VI(K,F)转化为如下的非线性互补问题(NCP(F)):
求一点x,满足
x\0,F(x)\0,xF(x)=0.
[1]
T
n
nnn
(1)
(2)
变分不等式问题在经济平衡理论、控制论、对策论、交通、社会和经济模型等许多方面都有着广泛的应用,其理论和算法的研究在近几十年里得到了长足的进展.
(1)与
(2)式的基本问题之一是解的存在性问题:
在何种条件下,VI(K,F)或NCP(F)有解.文献[1]举出了多个存在性定理和文献,如文献[2~7]等等.另外Smith
[8]
和Isac等
[9]
分别引入了/例外序列0和
[10,11]
/例外簇0的概念来研究NCP(F)的解的存在性问题.最近赵和韩等的结果,对一类VI(K,F)提出了例外簇的概念,这里K定义如下:
推广了文献[8,9,12]
(3)
K={xIR:
gi(x)[0(i=1,,,m);
hj(x)=0(j=1,,,l)},
其中gi:
RyR为连续可微凸函数,hj:
RyR为仿射函数,且K满足Slater条件.赵和韩等的例外簇概念提供了形如(3)式的VI(K,F)的解存在的一个充分条件,且对伪单调变分不等式而言,它也是解存在的必要条件.应用例外簇的概念,文献[11]给出了P*非线性互补问题解存在的一个充分条件.
本文对于带一般闭凸集约束的变分不等式问题定义了例外簇,它是赵和韩例外簇概念的推广.通过此概念,我们给出了关于VI(K,F)解存在的一个基本定理:
若VI(K,F)不存在例外簇,则它必定有解.且对伪单调VI(K,F)而言,此条件也是必要的.最后,我们给出了P0非线性互补问题解存在的充分条件.
2000-01-30收稿
*国家自然科学基金资助项目
894
中国科学(A辑)第30卷
1例外簇和VI(K,F)的解的存在性定理
首先给出一些记号:
+#+表示Euclid模,R+表示R中非负象限,PK(#)表示到闭集K上的投影算子.令D
DyR的连续函数组成的线性空间,令deg(f,D,y)表示f,D和y之间的拓扑度,这里
fIC(D),yIR且y|f(5D)(见文献[13,14]).下面列出一些引理,以备后用.
引理111引理112
[1][13]
x是VI(k,F)的解,当且仅当x=PK(x-F(x)).设D
****
H(x,t)=tG(x)+(1-t)F(x),0[t[1.设y是R中的任意一点,若
y|{H(x,t):
xI5D,tI[0,1]},则
引理113
[14]
deg(G,D,y)=deg(F,D,y).
设D和F由引理1.2定义,若y|F(5D)且deg(F,D,y)X0,则F(x)=y
在D中有解.
[1]n
引理114设F:
KyR为一连续函数.若K是非空紧凸集,则VI(K,F)必定有解.由于引理1.4,为研究VI(K,F)解的存在性,本文以下假设K是无界闭凸集.我们给出VI(K,F)的例外簇的定义.
定义111令x^IK,称序列{x}ry]
-[F(x+tr(x^-x))+tr(x-x^)]INK(x),
其中NK(x)表示K在x的法锥.法锥NK(#)的定义如下:
NK(x)=
{zIR:
z(y-x)[0,PyIK},若xIK,
ª
其他.
r
(4)
(5)
注111定义1.1是文献[11]中例外簇概念的推广.事实上,设K是由(3)式定义的非空闭凸集且满足Slater条件.令xIK,则对任意的yIK,KI[0,1],有x+K(y-x)IK.令I={1,2,,,m},J={1,2,,,l},I(x)={iII:
gi(x)=0},则有
0\limK|00=limK|0
gi(x+K(y-x))-gi(x)
K
hj(x+K(y-x))-hj(x)
=$gi(x)(y-x),PiII(x),=$hj(x)(y-x),PjIJ.
TT
(6a)
(6b)
Kn
对于任意zINK(x),任意yIR,如果存在K>
0,使得x+K(y-x)IK,PK,0[K
(5)和(6)式,z(y-x)[0;
如果有x+K(y-x)|K,PK,0[K
$gi(x)(y-x)>
0,或存在jIJ,使得$hj(x)(y-x)X0,故集合
S=y-x:
yIR;
z(y-x)>
0;
$gi(x)(y-x)[0,PiII(x);
$hj(x)(y-x)=T
nTT
第10期张立平等:
895
是空集.由Farkas引理知,存在Ki\0(iII(x)),LjIR(jIJ),使得
z=
iII(x)
E
Ki$gi(x)+
jIJ
EL$h(x).
j
rl
(7)(8)
设{x}是VI(K,F)关于x^的一例外簇,由(4)式知,
-2[F(x+tr(x^-x))+tr(x-x^)]INK(x).
再由(7)和(8)式知,v(Kr)i\0(iII(x)),和LrIR,使得
-2[F(x+tr(x^-x))+tr(x-x^)]=
取(Kr)i=0(iII\I(x)),则有
F(x+tr(x^-x))=-tr(x-x^)-(Kr)g(x)=0.
令y=x+tr(x^-x),则x=
rT
(Kr)i$gi(x)+$h(x)Lr.
(9)
1rTrT
$g(x)Kr+$h(x)Lr,2
(10)(11)
trrrrr
-,且yIK.令Ar=,则有x=Ary+(1-1-tr1-tr1-tr
A^IK.因01,Ary+(1-A^IK,并且(10)和(11)式可化为r)x
F(y)=-(Ar-1)(y-x^)-r
$g(Ary+(1-Ar)x^)Kr2
(12)(13)
$h(Ary+(1-Ar)x^)Lr,
(K^)=0.r)g(Ary+(1-Ar)x
这表明{y}ry]
设K={xIR:
-x[0}=R+,取x^=0,则(12)和(13)式化为
-(Ar-1)yi,若yi>
0,
(14)r(Kr)i\0,若yi=0.2
这意味着{y}既是文献[8]中定义的NCP(F)的例外序列,也是文献[9]中讨论的反半径序列.
定理111设K是R中一个非空闭凸集,F:
RyR为一连续函数,则VI(K,F)或有解,或对任意x^IK,有关于x^的一个例外簇.
Fi(y)=
证令
由引理1.1知,x是VI(K,F)的解当且仅当
H(x,t)=t(x-x^)+(1-t)
Dr={xIR:
+x+0.
若VI(K,F)无解,则对每个r>
+x^+,存在zI5Dr,trI[0,1],使得0=H(z,tr).若不然,则存在r0>
+x^+,使得
0|{H(x,):
xI5Dr0,I[0,1]}.
896
由引理1.2知,
deg(
因|deg(x-x^,Dr0,0)|=1,故由引理1.3知,
0=H(z,tr)=tr(z-x^)+(1-tr)[z-PK(z-F(z))]=z-trx^-(1-tr)PK(z-F(z)).
(15)
若tr=0,则由(15)式知z=PK(z-F(z)),即z是
(1)式的解,矛盾.若tr=1,则由(15)式知,z=x^,这与+z+=r>
+x^+相矛盾.故trI(0,1).由(15)
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- 不等式 问题 存在