高中数学换元法解题案例及练习题Word下载.docx
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的取值范围,不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>
0和口€[0,-]。
I、再现性题组:
1.y=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值是。
2.设f(x2+1)=loga(4—x4)(a>
1),贝Uf(x)的值域是
3.已知数列{an}中,a1=—1,a.1•a.=a“1—a.,则数列通项a.=
4.设实数x、y满足x2+2xy—1=0,贝Ux+y的取值范围是
。
x
5.方程x=3的解是。
1+3
6.不等式log2(2x—1)•log2(2心—2)〈2的解集是
3小题:
已知变形为丄——=—1,设bn=丄,则b1=—1,bn=—1
an卑anan
+(n—1)(-1)=—n,所以an=—丄;
n
4小题:
设x+y=k,则x2—2kx+1=0,△=4k2—4>
0,所以k>
1
或k<
—1;
5小题:
设3x=y,贝》3y2+2y—1=0,解得y=1,所以x=—1;
3
6小题:
设log2(2x—1)=y,则y(y+1)<
2,解得-2<
y<
1,所以x
€(log25,log23)。
4
H、示范性题组:
例1.实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5(①式),设S=x2+
y2,求丄+丄的值。
(93年全国高中数学联赛题)SmaxSmin
【分析】由S=x2+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换
解得S=叱一
8—5sin2a
-1<
sin2a<
--3w8—5sin2aW13
WWW
138「5sin:
10
此种解法后面求S最大值和最小值,还可由sin2
a=心°
的有界
S
性而求,即解不等式:
I8^°
|W1。
这种方法是求函数值域时经常用
到的“有界法”。
【另解】由S=x2+y2,设x2=I+1,y2=|-1,t€[-|,|],
则xy=±
J|4-12代入①式得:
4I±
5咅-12=5,
移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。
•••39S2-160S+100<
0解得:
10<
S<
10
133
.1丄13丄13168
…+=——+——=——=—
SmaxSmin1010105
【注】此题第一种解法属于“三角换元法”,主要是利用已知条
件S=x2+y2与三角公式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元,将代数问题转化为三角函数值域问题。
第二种解法属于“均值换元法”,主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路,设x2=
S+1、y2=S-1,减少了元的个数,问题且容易求解。
另外,还用到
22
了求值域的几种方法:
有界法、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似,我们还有一种换元法,即在题中有两个变
量x、y时,可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”,换元后有可能简化代数式。
本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a2€[O'
1】'
所以S=(a—b)2+(a+b)2=2(a2+b2)=10+20a2€[£
2],再求—+丄的值。
1313133SmaxSmin
例2.△ABC的三个内角AB、C满足:
A+C=2B,丄+丄=cosAcosC
-一么,求cos的值。
(96年全国理)
cosB2
【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°
”的性
质,可得
AV「120;
由“A+C=120°
”进行均值换元,则设
B=60
fo
A=60
io
C=60—
,再代入可求cosa即cos乎。
【解】由厶ABC中已知A+C=2B,可得
o
AC=120
由A+C=120。
,设c60
L
,代入已知等式得:
匕+—=
cosAcosC
cos(60:
)+cos(60一)
1
cos:
、、3
sin:
3sinj
COS:
3sin
_
"
3=
_4
解得:
COSa
即:
【另解】由
A+C=2B,
22,
cos^C=
得A+C=120°
.2
cosB
=—22,设co^=
2+mcofe=
B=60
—、2—m
所以cosA=—4—,cosC=—[—,两式分别相加、
2m2_m
A+CA-C
cosA+cosC=2coscos-—=cos
A-C=
m-2
所以
丄+丄
相减得:
A+C
cosA—cosC=—2sinsin
2m
、3(m2-2)'
A-C=_
m-2
A-C
-~
代入sin
2匕+cos2-C=
1整理得:
3m4—16m-12=0,解出m2=6,代入cos学
【注】本题两种解法由“A+C=120°
cosA
cosC
分别进行均值换元,随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算,除由已知想到均值换元外,还要求对三角公式的运用相当熟练。
假如
未想到进行均值换元,也可由三角运算直接解出:
由A+C=2B,得A
+C=120°
B=60°
所以一1—+-—=—2=—22,即cosAcosAcosCcosB
cos=
+cosC=—22cosAcosC,和积互化得:
2coscos=—,2[cos(A+C)+cos(A-C),即
2cos(A-C)=-y—2(2cos2A2C—1),整理得:
4、2cos2A2C+
2cos丁—32=0,
例3.设a>
0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—
sinx
-cosx=
t2-1
•••f(x)=g(t)=—*(t—2a)2+1(a>
0),t€[-42,42]
t=-2时,取最小值:
一2a2—22a—-
当2a》V2时,t=V2,取最大值:
—2a2+2占a——;
当0<
2a<
2时,t=2a,取最大值:
£
。
f(x)的最小值为—2a—2.2a—-1,最大值为
1(0<
a:
:
:
-2a22、.2a」(a2)
【注】此题属于局部换元法,设sinx+cosx=t后,抓住sinx+
cosx与sinx•cosx的内在联系,将三角函数的值域问题转化为二次
函数在闭区间上的值域问题,使得容易求解。
换元过程中一定要注意
新的参数的范围(t€[-2,2])与sinx+cosx对应,否则将会出错
本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法,即由对称
轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
般地,在遇到题目已知和未知中含有
sinx与cosx的和、差、积
数或一次函数的研究。
例4.设对所于有实数x,不等式
x2log
2如卫+2xlog
a
log2(a丄>
0恒成立,求a的取值范围
4a
(87年全国理)
(a1)
24a2
三项有何联
系?
进行对数式的有关变形后不难发现,再实施换元法。
【解】设log2旦=
a+1
2^^=log2^^=3+log2「=
a2a2a
(a1)2a1
2右=2log2=
4a2a
t,则log
3—log2~2^=3—t,log
-2t,
代入后原不等式简化为(3—t)x2+2tx—2t>
0,它对一切实数x恒成立,所以:
•••t<
0即log2-^vO
『弋,解得r<
3或
,4t8t(3—t):
0t:
0或t6
Ov互<
1,解得0va<
1。
a1
么会想到换兀及如何设兀,关键是发现已知不等式中
log24(a1)
【注】应用局部换元法,起到了化繁为简、化难为易的作用。
为什
log2互、log2色昙三项之间的联系。
在解决不等式恒成立问题时,
a+14a
使用了“判别式法”。
另外,本题还要求对数运算十分熟练。
一般地,解指数与对数的不等式、方程,有可能使用局部换元法,换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形,发现它们的联系而实施换元,这是我们思考解法时要注意的一点。
■2.2
例5.已知sin^=且J2+=―2(②式),求-
xyxy3(x+y)y
的值。
【解】设sin=
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