流体力学习题及答案Word格式.docx
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平板表面受到剪切应力作用,根据牛顿内摩擦定律,剪切应力为:
由于,得到,因此。
作用于平板上的粘性切向力为:
;
其中水的密度为:
时水的运动粘性系数为:
代入上式得到:
1-6设物面附近流体的流动如图所示,如果边界层内流速按抛物线分布:
,当,,温度为,试问流体分别为水和空气时,作用于壁面OAB上的剪切应力。
物体表面的剪切应力为:
由于:
,当时,。
因此:
(1)当流体为水时:
时水的密度和运动粘性系数分别为:
,,
(2)当流体为空气时:
时空气的密度和运动粘性系数分别为:
1-7有一旋转粘度计如图所示。
同心轴和筒中间注入牛顿流体,筒与轴的间隙很小,筒以等角速度转动。
设间隙中的流体速度沿矢径方向且为线性分布,很长,底部影响不计。
如测得轴的扭矩为,求流体的粘性系数。
轴承受的剪切应力:
则轴受到的剪切力为:
由于轴受到的扭矩为,则:
,即;
所以:
第二章流体静力学
2-1如果地面上空气压力为0.101325MPa,求距地面100m和1000m高空处的压力。
取空气密度为,并注意到。
(1)100米高空处:
(2)1000米高空处:
2-2如果海面压力为一个工程大气压,求潜艇下潜深度为50m、500m和5000m时所承受海水的压力分别为多少?
取海水密度为,并注意到所求压力为相对压力。
(1)当水深为50米时:
(2)当水深为500米时:
(3)当水深为5000米时:
2-3试决定图示装置中A,B两点间的压力差。
已知:
,,,,;
酒精重度,水银重度,水的重度。
设A,B两点的压力分别为和,1,2,3,4各个点处的压力分别为,,和。
根据各个等压面的关系有:
,
整理得到:
2-4有闸门如图所示,其圆心角,转轴位于水面上。
已知闸门宽度为B,半径为R,试求闸门受到的合力及合力与自由面的夹角。
(1)求水平分力
由于,则;
(2)求垂向分力
其中:
因此。
(3)求合力
合力大小:
合力方向:
,。
2-5设水深为,试对下述几种剖面形状的柱形水坝,分别计算水对单位长度水坝的作用力。
(1)抛物线:
,(为常数);
(2)正弦曲线:
,(,,为常数)。
(1),为常数。
水平分力:
其中,;
垂直分力:
其中,而,并注意到,于是得到:
因此,。
(2),(,,为常数)。
2-6试求图示单位长度水渠壁面所受的静水作用力。
已知水的重度(N/m3),水渠左壁为的直线,右壁为的抛物线。
(1)水渠左壁面受力
①采用平板公式计算
作用力大小:
作用力方向:
垂直作用于平板OA,并指向OA。
作用点:
,其中,,。
因此,;
②采用柱面公式计算
合力:
(2)水渠右壁面受力
而,;
2-7一圆筒形容器的半径R,所盛水的高度H。
若该容器以等角速度绕其中心轴转动,设r=0,z=h点的压力为p0,试求容器内水的压力分布及自由表面方程(设容器足够高,旋转时水不会流出)。
(1)作用于筒内流体的质量力包括两项:
第一项:
与坐标方向相反的重力,重力加速度为;
第二项:
沿坐标方向的离心力,离心加速度为。
因此单位质量力为:
,其中:
、分别为、方向的单位向量。
(2)对于静止流体微分方程:
,其中压力梯度:
将质量力和压力梯度代入,则得到:
比较方程两端,则得到:
(3)压力的全微分:
,将和代入其中,有:
将上式两端同时积分,得到:
,其中为常数。
将条件、时代入上式,则得到:
即流体内部的压力分布为:
又由于在自由表面上:
,代入到上述压力分布式中,则得到:
该式便是筒内流体的自由面方程。
2-8底面积a×
a=200×
200mm2的正方形容器的质量为m1=4kg,水的高度为h=150mm,容器的质量为m2=25kg的重物作用下沿平板滑动,设容器底面与平板间的摩擦系数为0.13,试求不使水溢出的最小高度H。
(1)求水平加速度:
建立如图所示坐标系,且设倾斜后不使水溢出的最小高度为。
设容器内水的质量为,容器和水的总质量为,则:
(kg),
(kg)。
由牛顿第二定律:
其中为摩擦系数,则水平加速度为:
(2)求作用于流体上的单位质量力:
单位质量力为:
代入到静止流体平衡微分方程中,有:
比较方程两端,可以得到:
(3)求自由表面方程
压力的全微分为:
在自由液面上,,。
代入到上式中得到:
对其进行积分,得到自由表面方程:
其中为常数。
***(确定常数和高度):
由于自由表面方程通过两点:
、,代入到自由面方程中,则有:
(1)
(2)
将
(1)代入到
(2)中,得到:
(3)
又由于倾斜前后,水体积(质量)保持不变,则有:
(4)
将(4)代入(3)中,得到:
(m),
即不使水溢出的最小高度为0.218m。
2-9一物体位于互不相容的两种液体的交界处。
若两液体的重度分别为,(>),物体浸入液体中的体积为V1,浸入液体中的体积为V2,求物体的浮力。
设微元面积上的压力为,其单位外法向量为,则作用于上的流体静力为。
沿物体表面积分,得到作用于整个物体表面的流体静力为。
设部分的表面积为,设部分的表面积为,两种液体交界面处物体的截面积为,交界面处的压力为。
并建立下述坐标系,即取交界面为平面,轴垂直向上为正,液体深度向下为正,显然。
在上,在上;
在此,需要注意到,由于在交界面上,因此有。
将这两项分别加入到上式的第二个括号和第三个括号中,则原式成为:
利用高斯公式,可以得到:
即物体受到的浮力为。
第三章流体运动学
3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数?
对于粘性流体定常平面流动,连续方程为:
存在函数:
和,
并且满足条件:
因此,存在流函数,且为:
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?
如果流体为不可压缩流体,流动为无旋流动,那么流函数为调和函数,满足拉普拉斯方程。
3-3就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
(1)
(2),其中m,K为常数。
(1)流场的加速度表达式为:
由速度分布,可以计算得到:
,因此:
,;
代入到加速度表达式中:
(2)由速度分布函数可以得到:
3-4已知欧拉参数表示的速度场分布为,,试求质点位移和速度的拉格朗日表达式。
已知时,。
(1)流体质点的轨迹方程为:
将速度分布带入,得到:
两个方程除了自变量之外,完全一致,只需要解一个即可。
将第一个方程改写为:
该方程为一阶非齐次常微分方程,非齐次项为。
先求齐次方程的通解,齐次方程为:
两端同时积分得到:
(2)令非齐次方程的特解为:
对其两端求导得到:
将上述和代入到原非齐次方程中,有:
两端同时积分:
代入到特解中得到:
(3)将初始条件时代入上式,得到:
同理可得:
轨迹方程为:
(4)用拉格朗日法表达的速度为:
3-5绘出下列流函数所表示的流动图形(标明流动方向),计算其速度、加速度,并求势函数,绘出等势线。
(1);
(2);
(3);
(4)。
①流动图形:
流线方程为,流线和流动方向如图中实线所示;
②速度:
,流场为均匀流动;
③加速度:
④求速度势函数:
由于平均旋转角速度:
,因此流场为无旋流场,势函数存在:
⑤等势线:
等势线如图中虚线所示(与流线垂直)。
(2)
由于平均旋转角速度,流场为无旋流场,势函数存在:
(3)
由于,流场为有旋流场,势函数不存在。
(4)
,为有旋流场,势函数不存在。
3-6已知平面不可压缩流体的速度分布为
(1),;
(2),;
(3),。
判断是否存在势函数和流函数,若存在,则求之。
(1),
①求速度势函数:
,为有旋流动,势函数不存在。
②求流函数:
由于,满足不可压缩流体的连续方程,流函数存在:
(2),
由于,不满足不可压缩流体的连续方程,流函数不存在。
(3),
,为无旋流动,势函数存在:
3-7已知欧拉参数表示的速度分布为,,求流体质点的轨迹。
由轨迹方程,并将和代入得到:
或者写成:
两端同时积分,得到:
,即
3-8已知流场的速度分布为,,求时通过点的流线。
将速度分布函数代入连续方程:
得到:
因此可知,速度分布与坐标无关,流动为二维流动。
由流函数定义式得到:
由于流函数为常数时表示流线,因此流线方程为:
将将条件:
当,、代入上式,得;
因此该瞬时过的流线方程为:
3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为,,求时过点的流线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。
(1)求流线方程:
由于,流函数存在,且为:
则流线方程为:
将条件:
当时,、代入,得;
则该瞬时过将点的流线方程为:
(2)求加速度:
时,、代入,得到该瞬时过将点的流体质点的加速度为:
(3)轨迹方程:
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